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Compétences

Reconnaitre la forme algébrique d'un complexe c'est à dire : ` z in C => z = x+iy ; x in R text{ et } y in R `

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un complexe : ` z in C => z = Re(z)+i Im(z) ; Re(z) in R text{ et } Im(z) in R `

Savoir utiliser la proprité `i^2 = - 1 ` dans des identitées remarquables ou dans le calcul des puissances de type `i^(n)`

Reconnaitre l'expression des identités remarquables

`(a+ib)^2 = a^2 +2iab +(ib)^2 = a^2 +2iab -b^2 ` avec `a in R ; b in R `

`(a-ib)^2 = a^2 -2iab +(ib)^2 = a^2 -2iab -b^2 ` avec `a in R ; b in R `

`(a-ib)(a+ib) = a^2-(ib)^2 = a^2 +b^2 ` avec ` a in R ; b in R `

`(1+i)^2 = 2i `

`(1-i)^2 = -2i `

`(1-i)(1+i) = 2 `

Savoir déterminer la partie réelle, la partie imaginaire des complexes `i^n , (1+i)^n , (1-i)^n text{ avec } n >= 2 `

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Compétences

Savoir appliquer la propriété suivante

`[ u = v ] <=> [ Re(u)= Re(v) text{ et } Im(u)= Im(v) ] `

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Compétences

Savoir utiliser les proprités de l' addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres complexes `C`

si ` z= x+iy ` et `z_1 = x_1+iy_1 ` alors `z+z_1 = (x+x_1) + (y+y_1)i `

`zz_1 = (x+iy)(x_1+iy_1)= x x_1 -yy_1+i(yx_1 +xy_1) `

`k z = kx+iky ` avec ` k in R `

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Compétences

Savoir utiliser les proprités de l' addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres complexes `C`

si ` z= x+iy ` et `z_1 = x_1+iy_1 ` alors `z+z_1 = (x+x_1) + (y+y_1)i `

`zz_1 = (x+iy)(x_1+iy_1)= x x_1 -yy_1+i(yx_1 +xy_1) `

`k z = kx+iky ` avec ` k in R `

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Compétences

Savoir utiliser les notions :

Opposé du complexe `z = x+iy ` est le complexe ` -z = -x -iy `

l'inverse du complexe `z = x+iy ` est le complexe `1/z = 1/(x+iy)= x/(x^2+y^2) - y/(x^2+y^2)i `

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Compétences

Savoir utiliser les proprités suivante

si ` z= x+iy ` et `z_1 = x_1+iy_1 ` alors `z - z_1 = (x - x_1) + (y - y_1)i `

`z/z_1 = (x+iy)/(x_1+iy_1)= (x x_1 +yy_1+i(yx_1 -xy_1))/(x_1^2+y_1^2) `

` z - z_1 = z+(-z_1)`

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Compétences

Savoir utiliser les notions :

Opposé du complexe `z = x+iy ` est le complexe ` -z = -x -iy `

l'inverse du complexe `z = x+iy ` est le complexe `1/z = 1/(x+iy)= x/(x^2+y^2) - y/(x^2+y^2)i `

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Compétences

Savoir déterminer la forme algébrique , la partie réelle , partie imaginaire d'une expression de la forme

`f(z)= az + b ` , ` a, b ` deux complexes

Appliquer les propriétés suivantes

` z in R <=> Im(z)= 0 ` , ` z in iR <=> Re(z)= 0`

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Compétences

Savoir déterminer la forme algébrique , la partie réelle , partie imaginaire d'une expression de la forme

`f(z)= az^2 +bz + c ` , ` a, b , c ` des complexes

Appliquer les propriétés suivantes

` z in R <=> Im(z)= 0 ` , ` z in iR <=> Re(z)= 0`

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Compétences

Savoir Résoudre dans `C` les équations :

` az+b = 0 ` avec `a,b ` deux complexes

`a bar(z)+b = 0 ` avec `a,b ` deux complexes

`az+b bar(z) +c = 0 ` avec `a,b , c `des complexes

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Compétences

Résooudre une équation de deuxième degré à l'aide de la factorisation

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Compétences

Apprendre les notions suivantes :

l'affixe d'un point `A(x,y)` noté `A(z) ` est le complexe `z_a = x+ iy `

les point `A(x,y)` est l'image du complexe `z_a = x+ iy `

l'affixe du vecteur `vecu(x,y)` noté `vec(u)(z) ` est le complexe `z_(vec(u))= x+ iy `

le vecteur `vecu(x,y)` est l'image vectorielle du complexe `z_(vec(u))= x+ iy `

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Compétences

Apprendre les notions suivantes :

si `A(z_a) ` , `B(z_b) ` alors l'affixe du vecteur `z_(vec(AB)) = z_b -z_a `

`vec(u) = vec(v) <=> z_(vec(u)) = z_(vec(v)) `

l'affixe `z_i ` du milieu du segement `[AB]` est `z_i = (z_a+z_b)/2`

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Compétences

Apprendre les notions suivantes :

`vec(w)= vec(u)+vec(v) <=> z_w = z_u +z_v `

`B(b)` est l'image du point `A(a)` par la translation `t_(vec(u)) <=> vec(u) = vec(AB) <=> z_b = z_a +z_u `

`ABCD ` est un parallélogramme si et seulement si `vec(AB)= vec(DC) `

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Compétences

Apprendre les notions suivantes :

si `A(z_a) ` , `B(z_b) ` l'affixe `z_i ` du milieu du segement `[AB]` est `z_i = (z_a+z_b)/2`

l'affixe du barycentre `G` du système pondéré `{ (A , alpha) , (B,beta)}` est `z_g = (alpha z_a + beta z_b)/(alpha+beta ) `

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Compétences

Apprendre les notions suivantes :

`A(z_a) ` , `B(z_b) ` , `C(z_c) ` sont alignés si et seulement si `vec(AC)= k vec(AB) <=> (z_c -z_a)/(z_b-z_a) in R `

`(AB)text{ // } (CD) <=> (z_d -z_c)/(z_b -z_a) in R `

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Compétences

Savoir appliquer les propriétés suivantes :

le conjugué du complexe `z = x+iy ` avec `(x,y) in R^2 ` est le complexe `bar(z)= x -iy `

`bar(z_1+z_2)= bar(z_1)+bar(z_2) `

`bar(z_1 z_2)= bar(z_1) × bar(z_2) `

`bar(z_1/z_2)= (bar(z_1))/(bar(z_2)) ` , `z_2 ne 0 `

`bar(kz)= k bar(z) ; k in R `

`bar(z_1^n)= (bar(z_1))^n `

` z in R <=> bar(z)= z `

` z in iR <=> bar(z)= - z `

` z bar(z)= (Re(z))^2 +(Im(z))^2 `

` z+ bar(z) = 2Re(z) `

` z - bar(z) = 2i Im(z) `

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Compétences

Savoir déterminer la forme algébrique , la partie réelle , partie imaginaire d'une expression de la forme

`f(z)= a bar(z)+ b ` , ` a, b ` deux complexes

Appliquer les propriétés suivantes

` z in R <=> Im(z)= 0 ` , ` z in iR <=> Re(z)= 0`

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Compétences

Savoir déterminer la forme algébrique , la partie réelle , partie imaginaire d'une expression de la forme

`f(z)= a bar(z^2)+ b bar(z) + c ` , ` a, b , c ` des complexes

Appliquer les propriétés suivantes

` z in R <=> Im(z)= 0 ` , ` z in iR <=> Re(z)= 0`

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Compétences

Savoir Résoudre dans `C` une equation de premier degré de la forme `az+b bar(z) +c = 0 ` avec `a , b , c ` des complexes

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Compétences

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Compétences

Savoir Déterminer le module d'un complexes

le module d'un complexe `z` est le réel noté `|z| = sqrt((Re(z))^2 + (Im(z))^2)`

`|z_1 z_2| = |z_1||z_2| ` , `|z_1/z_2 | = (|z_1|)/(|z_2|)`

`|z_1^n| = |z_1|^n `

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Compétences

Appliquer les propriétés suivantes

` |z| = | - z | = | bar(z)| = |-bar(z)| `

` zbar(z)= |z|^2 `

`|z_1 z_2| = |z_1||z_2| ` , `|z_1/z_2 | = (|z_1|)/(|z_2|)`

`|z_1^n| = |z_1|^n `

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Compétences

Utiliser les propriétrés sur le module d'un complexe dans démonstrations

` |z| = | - z | = | bar(z)| = |-bar(z)| `

` zbar(z)= |z|^2 `

`|z_1 z_2| = |z_1||z_2| ` , `|z_1/z_2 | = (|z_1|)/(|z_2|)`

`|z_1^n| = |z_1|^n `

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Compétences

Utiliser les propriétrés suivantes

le module ` |z| ` est la distance entre l'origine `O` et le point `M(z)`

la distance entre deux points `A(a) ` et `B(b) ` est `|b-a| `

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Compétences

Intépréter géométriqument des expressions suivantes

`abs(z-a) = r ` avec ` a in C `

`abs(bar(z)-a) = r ` avec ` a in C `

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Compétences

Intépréter géométriqument des expressions suivantes

`abs(z-a) = abs(z-b) ` avec ` a , b in C `

`abs(bar(z)-a) = abs(z -b) ` avec ` a , b in C `

`abs(bar(z)-a) = abs(bar(z) -b) ` avec ` a , b in C `

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Compétences

Etudier une expression de la frome `f(z)= (z+a)/(z+b) ` avec `a, b in C `

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Compétences

Déterminer géométriquement l'arguement d'un complexe non nul

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Compétences

Déterminer une forme trigonométrique d'un complexe

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Compétences

Déterminer une forme trigonométrique d'un complexe

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Compétences

Déterminer une forme trigonométrique d'un complexe

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Compétences

Utiliser les propriétés sur les forme trigonométrique

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Compétences

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Compétences

S'entrainer sur des modèles générés à partir des nationnaux de 2023-2025

S'entrainer sur les sujets des nationnaux de 2023-2025