Correction des concours ENSA , ENSAM , meknes

Derniers exercices .....

603

Pour tout `n in N^(ast) `

On pose `u_n = 1/n prod_{k=1}^n (n+k)^(1/n)`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

1 : `e`

2 : `sqrt(e)`

3 : `e/4`

4 : `4/e `

Réponse

604

`lim_{ x to +infty} xsin(ln(1+1/x)) = `

1 : `1`

2 : `-1`

3 : `0`

4 : `+infty `

Réponse Notez

605

`lim_{ x to +infty} e^xsin(e^(-x)) = `

1 : `1`

2 : `-1`

3 : `0`

4 : `+infty `

Réponse Notez

594

On donne `33xx33 =1089 ` alors

`333333333xx333333333 = `

1 : `11111111088888889`

2 : `11111111088888889`

3 : `111111110888888889`

4 : `1111111088888889`

Réponse

595

Soient `a` et `b` deux réels non nuls alors

1 : `forall a in ]0,+infty[ : sqrt(a) < a < a^2 `

2 : si ` 0 < a < b <= 1 ` alors `sqrt(b)-sqrt(a) < b-a `

3 : si ` 1<= a < b ` alors `sqrt(b) -sqrt(a) < b-a `

Réponse

596

Soit `f` et `g` les fonctions définies par `f(x)=xe^(1-x^2)` et `g(x)=ax^2+bx`

On cherche Tous les couples `(a,b)` tels que
les courbes `C_f` et `C_g` aient la même tangente au point d'abscisse `1`

1 : si `(a,b)` est une solution alors `a+b =1`

2 : Tous les couples `(a,b)` tels que `2a+b=-1`

3 : le couple `(1,0)` est solution

Réponse

597

Soit `f(x)= 2(cosx)^2-sinx -1 `

et `(E)` est l'ensemble des solutions de l inéquation `f(x) < 0 `

1 : `f(x) < 0 <=> sinx > 1/2 `

2 : `E = ](pi)/6, +infty[`

3 : si ` x in ](pi)/6 , (5pi)/6[` alors `f(x) >= 0 `

Réponse

598

le plan est rapporté à un repère orthonormé

Soit `f` une fonction définie et dérivable sur `R` et le point `I(1,0)` est un point de symétrie de la courbe `C_f`

1 : `forall x in R : f(x)= f(2-x) `

2 : `forall x in R : f(1+x) + f(1-x)= 0 `

3 : `forall x in R : f'(1+x) +f'(1-x)= 0 `

Réponse

599

On considère la fonction `f` définie sur `R^(ast)` par

`f(x)= (e^(2x+1) -e)/x`

1 : `lim_{ x to 0} f(x)= e `

2 : l'axe des abscisses est asymptote à la courbe `C_f`

3 : `forall x ne 0 : f'(x)=e/x^2[ (x-1)e^(2x)+1] `

Réponse

537

Pour tout ` x in R^(ast) ` on pose ` f(x)= (abs(x))/x `

1 : `lim_{ x to 0} f(x)= 0 `

2 : `lim_{ x to 0} f(x)= 1 `

3 : `text{ limite en 0 de f n'existe pas } `

4 : `text{ f est dérivable en 0} `

Réponse

538

Soit `f` la fonction définie sur `]0,+infty[` par

`f(x)= x +1 -(lnx)/x^2 `

1 : `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

2 : `y = x+1` est une asymptote oblique à la courbe `C_f`

3 : la fonction `F` définie sur `I= ]0,+infty[` par `F(x)= (x^3-1+2lnx)/x^3` est une primitive de `f` sur `I`

4 : `f` est décroissante sur pour tout ` x>= 1 `

Réponse

539

Soient deux fonctions `C(x)= 1/2(e^x+e^(-x))` et `S(x)= 1/2(e^x -e^(-x) )`

1 : `C^2(x) -S^2(x)= 1`

2 : les deux fonctions sont positives

3 : `C' = S ` et `S' = C `

4 : les deux fonctions sont décroissantes

Réponse

540

Choisir la bonne réponse

1 : `int_0^1 (2x+2)/(x+1)^2dx = 3ln2 `

2 : `int_(1)^(-1) e^(-x)dx = e -e^(-1) `

3 : `int_0^((pi)/2)cosx sinx dx = 1/2 `

4 : `int_0^2 e^x/(1+e^x) dx = ln((1+e)/3) `

Réponse

543

Soit ` f ` et `g` les fonctions définies par :

`f(x)= arctan(x+1) -arctanx`

`g(x)= arctan(1/(x^2+x+1)) `

1 : `forall x in ]-infty , 0] : -(pi)/2 < g(x) < 0 `

2 : `forall x in R : -pi < f(x) < 0 `

3 : `forall x in R : 0 < f(x) < pi `

4 : `forall x in [0,+infty[ : 0 < f(x) < (pi)/2 `

Réponse

544

Soit ` f ` et `g` les fonctions définies par :

`f(x)= arctan(x+1) -arctanx`

`g(x)= arctan(1/(x^2+x+1)) `

1 : `forall x in R : tan(f(x))= tan(g(x))`

2 : `forall x in R : f(x)= g(x) -pi `

3 : `forall x in [0,+infty[ : f(x)= g(x) `

4 : `forall x in ]-infty , 0] :f(x) = g(x) +pi `

Réponse

564

On pose `a = (e^(12) e^(-5+4sqrt(3)))^(7-4sqrt(3)) (e^(sqrt(290))/(e^(17)))^(sqrt(290)+17) = `

1 : `e`

2 : `1/e`

3 : `e^2`

Réponse

546

On pose `S_n = sum_{k=0}^n arctan(1/(k^2+k+1)) `

alors `S_n= `

1 : `arctan(n)`

2 : `arctan(n) -1`

3 : `arctan(n+1)`

4 : `arctan(n -1)`

Réponse

547

`arctan(2) + arctan(3)= `

1 : `-(pi)/4`

2 : `(3pi)/4`

3 : `text{ autre réponse }`

Réponse

548

On pose `S_n = 1/nsum_{k=0}^(n-1) arctan(1/(k^2+k+1)) `

alors `lim_{ n to +infty} S_n = `

1 : `(pi)/4`

2 : `0 `

3 : `1`

4 : `+infty`

Réponse

549

Cochez les bonne(s) réponse(s)

1 : `forall x in R : 1+x < e^x`

2 : `forall x in R-{1} x+1<= e^x <= 1/(1-x) `

3 : `forall x in ]0,1[ : x+1 < e^x < 1/(1-x) `

4 : `forall x > 1 : ln((x+1)/x) < 1/x < ln(x/(x-1)) `

Réponse

551

Soit ` (a,b) in R^2-(0,0)`

`lim_{ x to 0} (ln(cosax))/(ln(cosbx)) = `

1 : `a/b`

2 : `a^2/b^2 `

3 : `b^2/a^2 `

Réponse

555

$$a=\sqrt[3]{ 20 +14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{ 20 -14\sqrt{2}}$$

alors `a = `

1 : `1`

2 : `2`

3 : `3`

4 : `4`

Réponse

558

Soit `S` l'ensemble des solutions de l 'inéquation `1/x >= 1/x^3 `

alors `S=`

1 : `]-infty , 1]`

2 : `[1,+infty[`

3 : `[-1, 0[`

4 : `[-1, 0[ cup[1,,+infty[`

Réponse

559

Soit `m ` une constante de `R`

et `h` la fonction définie par `h(x)= x^m -(lnx)^2 `

laquelle des propositions est vraie

1 : si `m > 0 ` : `lim_{ x to +infty} h(x)= 0 `

2 : si `m < 0 ` : `lim_{ x to 0 } h(x)= 0 `

3 : si `m <= 0 ` : `lim_{ x to +infty} h(x)= 0 `

4 : si `m > 0 ` : `lim_{ x to +infty} h(x)= +infty `

Réponse

565

`lim_{ x to 1^-} (abs(1-x^2))/(1-x)`

1 : `-2`

2 : `1`

3 : `2`

4 : `text{ n'existe pas} `

Réponse

566

la dérivée de la fonction `f : x->x+cos^2x ` est

1 : `text{ paire } `

2 : `text{ ne s'annule pas } `

3 : `text{ à valeurs toujours positives } `

4 : `text{ autre réponse } `

Réponse

567

On considère la fonction `f : x-> (sin^9x +cos^6x +1)/(e^(-x) +1) `

`lim_{ x to +infty} f(x)= `

1 : `0 `

2 : `1 `

3 : `+infty `

4 : `text{n'existe pas } `

Réponse

568

`lim_{ x to 0} (e^x+1)/x `

1 : `1 `

2 : `+infty `

3 : `-infty `

4 : `text{n'existe pas } `

Réponse

570

On considère la fonction `f` définie par `f(x)= 2x+1+sqrt(4x^2+4x)`

1 : `D_f = [0,+infty[ `

2 : `text{ f est dérivable sur D_f} `

3 : `lim_{ x to 0^+} (f(x) -1)/x = 0 `

4 : la courbe `C_f` présente en `A(0,1)` une demi-tangente verticale

Réponse

572

Cocher la bonne réponse

1 : `cosacosb = 1/2( sin(a+b) +cos(a-b)) `

2 : `sinasinb = 1/2( cos(a+b) +sin(a-b)) `

3 : `sinacosb = 1/2( cos(a+b) +cos(a-b)) `

4 : `cosa + cosb = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)`

Réponse

573

Soit ` x `, ` y ` , `a` et `b` des réels tels que ` x <= y ` et ` a <= b `
laquelle des propositions est toujours vraie

1 : `x^2 <= y^2 `

2 : `x-a <= y -b `

3 : `1/4e^(y+b) - 1/5e^(x+a) +0,05 >= 0 `

4 : `xa <= by `

Réponse

574

Soit `n in N ` la dérivée d'ordre `n +1` de la fonction ` f(x)= x^n e^(1/x)` est

1 : `(-1)^n/x^(n+2)e^(1/x) `

2 : `(-1)^(n+2)/x^(n+2)e^(1/x) `

3 : `(-1)^(n+3)/x^(n+2)e^(1/x) `

4 : `(-1)^(n+1)/x^(n+1)e^(1/x) `

Réponse

575

`int_0^((pi)/2) sin^2xcos^3x dx `

1 : `(2pi)/(15) `

2 : `(4pi)/(15) `

3 : `(2)/(15) `

4 : `(4)/(15) `

Réponse

577

`int_0^((pi)/2) sin^4xcos^5x dx `

1 : `(8pi)/(315) `

2 : `(4pi)/(315) `

3 : `(8)/(315) `

4 : `(4)/(315) `

Réponse

580

On considère la fonction `f` définie par

`f(x)= 2/(pi) x arctan(1/(abs(x))) -2x text{ si } x ne 0 `

`f(0)= 0 `

1 : `D_f = [0,1]`

2 : `f ` est continue en `0`

3 : `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

4 : `y = -2x+2/(pi) ` est asymptote à la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `

Réponse

581

Cochez la bonne réponse

Soit ` x in [0, +infty[`

`n ` et `p` deux entiers naturels non nuls

1 : $$\sqrt[n]{x}^n = x $$

2 : $$\sqrt[n]{x^n} = x $$

3 : $$\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[m+n]{x} $$

4 : $$\sqrt[n]{x} \sqrt[m]{x} = \sqrt[mn]{x^{m+n}} $$

Réponse

585

On considère la fonction `f` définie par $$ f(x)=\sqrt[3]{x^2} -\sqrt[3]{x^2-4} $$

1 : `D_f = ]-infty , -2] cup ]2,+infty[`

2 : `f` est dérivable sur `]-infty , -2] cup ]2,+infty[`

3 : `lim_{ x to 2^+} (f(x) -f(2))/(x-2)= +infty `

4 : `lim_{ x to +infty} f(x)= 0 `

Réponse

588

`int_0^((pi)/2) sin^4xcos^4x dx `

1 : `(3pi)/(256) `

2 : `(6pi)/(256) `

3 : `(3)/(256) `

4 : `(6)/(256) `

Réponse

533

le reste de la division euclidienne de `2^(331) + 3^(1002)` par `11` est

1 : ` 0`

2 : `1`

3 : `5`

Réponse

552

Pour tout ` n >= 5 `

On pose `u_n=(1+sqrt(2))^n = a_n +b_nsqrt(2)`

alors

1 : ` (1-sqrt(2))^n = b_n -a_nsqrt(2) `

2 : `a_n^2-2b_n^2= 1 `

3 : `(1+sqrt(2))^n +(1-sqrt(2))^n = E( u_n)`

4 : `PGCD(a_n, b_n)= 1 `

Réponse

557

Cocher la bonne réponse

1 : `text{ le produit d'un rationnel par un irrationnel est irrationnel }`

2 : `text{ la somme de deux irrationnels est irrationnelle }`

3 : `text{ le produit de deux irrationnels est irrationnel }`

4 : `text{ la somme d'un rationnel et un irrationnel est irrationnelle }`

Réponse Notez

582

Soit `E, ` et `F` deux ensembles finis avec `card(E)=m` et `cardF=n `

1 : `Card(E cup F)= cardE +cardF`

2 : `Card(E cup F)= card(E) +card(F) -card(EcapF) `

3 : `Card(ExxF)= cardE * cardF `

4 : `Card(P(E))= 2^m `

Réponse

583

Soit `A` et `B` deux parties d'un ensemble `X` on note `P(A)` la probabilité d'un événement `A` avec `P(A) ne 0 `

1 : `P(A cap B)= P(A)P(B)`

2 : `P(A cup B)= P(A) +P(B) -P(A cap B) `

3 : `P(A text{/} B) P(A)= P(A cap B) P(B) `

4 : `P(bar(A))= 1 -P(A) `

Réponse

593

Réponse

489

On considère la fonction `f` définie sur `R-{ -1}` par ` f(x)= (1-x)/(1+x) `

1 : la courbe de la fonction ` g_1 : x-> abs((x-1)/(1+x))` se déduit de la courbe `C_f` par une symétrie par rapport à l'axe des `y `

2 : la courbe de la fonction ` g_2 : x-> (x+3)/(x+1)` se déduit de `C_f ` par une translation de vecteur ` vec(u)(0,-2)`

3 : la courbe de la fonction ` g_3 = (x-1)/(1+x) ` se déduit de la courbe `C_f` par une symétrie par rapport à l'axe des `x`

4 : la courbe de la fonction ` g_4 : x-> (1-2x)/(2x+1)` se déduit de `C_f` par une homothétie de centre `0` et de rapport `2 `

Réponse

491

On considère la fonction `f` définie sur `R` par ` f(x)= ln((1+e^x)/2) ` et `C_f` sa courbe dans un repère orthonormé

1 : ` f'(x)= 1/(1+e^x) `

2 : la droite ` y = x -2 ` est asymptote a la courbe `C_f`

3 : `lim_{ x to +infty} (f(x))/x = 1 `

4 : la droite ` y = ln2 ` est asymptote à la courbe `C_f`

Réponse

492

`f` et `g` deux fonctions définies sur `R` par ` f(x)= x^2 +1` et `g(x)= e^(x+1) `

1 : ` fog(x) = e^(x^2+2) `

2 : ` (fog(x))' = 2xe^(x^2+2) `

3 : `fog` est croissante

4 : `lim_{ x to +infty} (g(x))/(f(x)) =0 `

Réponse

493

1 : ` x-> ((x-1)(x^2+x+1))/x^3 ` est la dérivée de ` x-> (2x^3-5x^2+1)/x^2 ` sur `R`

2 : ` x-> sinx abs(cosx)^(3/2) ` est la dérivée ` x-> (cosx)^(5/2)` sur `R`

3 : `x-> ln(x^2+x+1) + (x(2x+1))/(x^2+x+1) ` est la dérivée de la fonction `x-> xln(x^2+x+1)` sur `R`

4 : ` x-> e^(sqrt(2x+5))/(2sqrt(2x+5))` est la dérivée de la fonction ` x-> e^(sqrt(2x+5))` sur `]-5/2,+infty[`

Réponse

502

On a `lim_{ x to (pi)/2 } (x-(pi)/2)tanx `

1 : `0`

2 : `1`

3 : `-1`

4 : `+infty`

Réponse

513

On pose `v_n = int_e^n 1/(x(lnx)^3)dx `

`lim_{ n to +infty} v_n = `

1 : `1/2`

2 : `+infty`

3 : `2/(e^2)`

Réponse

518

`lim_{ x to 0^+ } x e^(1/x-1)= `

1 : `0`

2 : 1

3 : `+infty`

4 : ` text{ autre valeur }`

Réponse

530

Soit `(u_n)` la suite définie par

`u_0= -1 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= u_n^2 +1 `

1 : la suite `(u_n)` est positive pour tout ` n in N `

2 : la suite `(u_n)` est croissante

3 : `forall n in N : u_n <= 16sqrt(2) `

4 : la suite `(u_n)` est convergente

Réponse

541

1 : ` forall x in R : cos(5x)= 16cos^5x + 5cosx `

2 : ` forall x in R : cos(5x)= 16cos^5x -20cos^3x+ cosx `

3 : `cos((pi)/(10)) = sqrt( (5+sqrt(5))/8) `

4 : `cos((pi)/(10)) = sqrt( (5-sqrt(5))/8) `

Réponse

542

On considère l'équation `(E) : sum_{k=1}^n C_n^kcos(2kx)= C_n^1cos(2x)+C_n^2cos(4x) + ....C_n^ncos(2nx) = 0 `

1 : `sum_{k=1}^n C_n^k sin^2(kx)=2^n `

2 : `sum_{k=1}^n C_n^kcos(2kx)= cos(nx)((cosx)/2)^n `

3 : l'ensemble des solutions est `S= {(pi)/n+(kpi)/n ; k in Z } cup{ (pi)/2 +kpi ; k in Z }`

4 : `text{ autre réponse } `

Réponse

586

Cochez le(s) bonne(s) propositions

Soit `a` et `b` deux complexes

1 : `arg(ab)= arg(a) +arg(b)`

2 : `arg(a)= -arg(bar(a)) = arg(1/a) `

3 : `arg(a)+ arg(b)= arg(a+b)`

4 : `arg(a/b)= arg(a) -arg(b) `

Réponse

587

Cochez le(s) bonne(s) propositions

Soit `a` et `b` deux complexes

1 : `1/a = (bar(a))/(abs(a))^2`

2 : `abs(Re(a)) <= abs(a) `

3 : `abs(abs(a) -abs(b)) <= abs(a+b) `

4 : `Re(abar(b)) = abs(a)abs(b) `

Réponse

600

Soit `E` l'équation d'inconnue `z` définie `z^3=bar(z)`

1 : si `abs(a)=1` alors `a` est solution de `E`

2 : si` a= (kpi)/2; k in Z ` alors `cosa -isin(a)` est solution de `(E)`

3 : les solutions de `(E)` sont les complexes tels que `a= 1` ou `a^4=1`

Réponse

601

Soit `f ` l'application qui a pour tout `M(z)` associe `M(z')` telle que `z' = (2z+1)/(z-1)`

1 : l'ensemble des points tels que `z'` soit réel est l'axe des réels

2 : l'ensemble des points tels que `z'` est imaginaire pur est inclus dans un cercle

3 : l'ensemble des points tels que `abs(z')=2` est un cercle

Réponse

506

On considère la suite `(u_n)` définie par

` u_0 = 1 `

` forall n in N : u_(n+1)= 3sqrt(u_n) `

alors

1 : `(u_n)` est décroissante

2 : `lim_{ n to +infty} u_n = 0 `

3 : ` lim_{ n to +infty} u_n = 9 `

4 : ` lim_{ n to +infty} u_n = +infty `

Réponse Notez

509

On pose `S_n = sum_{k=2}^n 1/(k^2-1)`

alors `lim_{ n to +infty} S_n = `

1 : `3/2`

2 : `4/3 `

3 : ` +infty `

Réponse Notez

510

`lim_{ n to +infty} ((-1)^n e^n)/(pi^(n+1))= `

1 : `1/(pi)`

2 : `0`

3 : `text{ n'existe pas } `

Réponse Notez

501

On a `lim_{ x to 1 } x e^(1/(tanx)) `

1 : `0`

2 : `1`

3 : `+infty`

4 : `text{ n' a pas de limite }`

Réponse

481

1 : `int_1^e xlndx = (e^2+1)/2 `

2 : `int_1^2 (lnx)/x^2 dx = ln((27)/4) +1 `

3 : `int_2^3lnx dx = 1/2-lnsqrt(2)`

4 : `int_0^1 x^2e^(-x)dx = 2- 5/e `

Réponse

445

1 : `int_k^2 ln((x-1)/x) dx = -2ln2 +ln(k-2) ; k in ]1, 2[ `

2 : ` int_0^((pi)/3)cos^3xdx = (3sqrt(3))/(11) `

3 : ` int_(-2)^0 ( abs(x+1) +4/(x-1)) dx = 1-4ln3 `

4 : `int_0^2 (x-2)e^(2x+1)dx =5/4e -(13)/7e^5 `

Réponse Notez

soit `(u_n)` une suite numérique et `L ne 0 `

On considère les assertions suivantes

1 `lim_{ n to +infty} u_n =L => lim_{ n to +infty} abs(u_n)= abs(L) `

2 `lim_{ n to +infty} abs(u_n)= abs(L)=> lim_{ n to +infty} u_n = L `

3 `lim_{ n to +infty} u_n = 0 <=> lim_{ n to +infty} abs(u_n)= 0 `

alors

1 : seulement 1) est vraie

2 : seulement 1) et 3) sont vraies

3 : 1) , 2) 3) sont vraies

Réponse

477

`lim_{ h to 0} 1/h int_(sqrt(3))^(sqrt(3)+h) 1/(arctanu)du = `

1 : `3/(pi)`

2 : `0`

3 : `sqrt(3) `

Réponse Notez

478

`lim_{ n to +infty } int_(sqrt(e))^n 1/(xlnx)^2dx = `

1 : `+infty `

2 : `1/e`

3 : `2 `

Réponse

479

`f(x)= int_(1+x)^(1+x^2) e^(-sqrt(t)) dt = `

la tangente à la courbe `C_f` en `1` admet pour équation

1 : `y = e^(-sqrt(2)) (x-1) `

2 : `y = e^(-sqrt(2)+1) (x-1) `

3 : `text{ ls données sont insuffisantes pour déterminer la tangente } `

Réponse Notez

480

` int sqrt(x) lnx dx = `

1 : `ln(xsqrt(x))(3lnx-2) +K ; k in R `

2 : ` 2/9xsqrt(x)(3lnx-2) + k ; k in R `

3 : `2/9(ln(xsqrt(x))/2 +k ; k in R `

Réponse

484

Soit `z_1 = sqrt(3) -i ` et `z_2 = 2i -z_1 ` deux nombres complexes

1 : `text{ le module de } z_1^(-1) ` est ` 2 `

2 : `arg(z_2)= (7pi)/6 `

3 : `arg(z_2/z_1)= -(pi)/2 `

4 : `abs(z_2/z_1)= -sqrt(3) `

Réponse

488

Soit `f` la fonction définie par

`f(x)= cos^2x sin^3x`

1 : `f` est paire

2 : `f` est `pi ` périodique

3 : la courbe `C_f` dans un repère orthonormé est symétrique par rapport à `O`

4 : `int_0^(pi) f(t) dt = int_(-pi)^0 f(t) dt `

Réponse

495

1 : `int_0^2 abs(x^2-x)dx = 2/3`

2 : ` x->(x+2)e^(-x)` est une primitive de ` x->(x+1)e^(-x) `

3 : `x->2sqrt(x^2+x+1)` est une primitive de la fonction ` x-> (2x+1)/(sqrt(x^2+x+1)) `

4 : `x-> lnabs(2+3sinx)` est une primitive de la fonction ` x-> (cosx)/(2+3sinx) `

Réponse

496

Soit ` f(x)= x + sqrt(abs(4x^2-1)) `

1 : `forall x in R-{-1/2, 1/2} : f'(x)= (sqrt(abs(4x^2-1)) -4x)/(sqrt(abs(4x^2-1)))`

2 : la droite `y =x ` est une asymptote à la courbe `C_f`

3 : la tangente à la courbe `C_f` au point `A(0,1)` a pour équation `y = x+1 `

4 : la droite ` y = -3x ` est asymptote à la courbe `C_f`

Réponse

498

`1/(sqrt(2pi)) int_(-infty)^(+infty) e^(-x^2/2) dx = `

1 : `1/2 `

2 : `1 `

3 : `0`

4 : `pi `

Réponse

514

`f(x)= int_(sqrt(x))^(x^2) e^(t^2) dt = `

la tangente à la courbe `C_f` en `1` admet pour équation

1 : `y = (3e)/2 (x-1) `

2 : `y = e^x - (e+1) `

3 : `text{ ls données sont insuffisantes pour déterminer la tangente } `

Réponse Notez

515

`int (tan(sqrt(x))/(sqrt(x))) = `

1 : ` ln(1/(cos^2x)) + k `

2 : ` -ln(cos(sqrt(x))) + k `

3 : ` ln(1/(cos^2(sqrt(x)))) + k `

Réponse

517

On considère les intégrales

`I = int_0^((pi)/4)sinxcos^2xdx `

`J = int_0^((pi)/4)sin^3xdx `

1 : `2I = int_(-(pi)/4)^((pi)/4)sinxcos^2xdx `

2 : `I+J = -(sqrt(2))/2 +1 `

3 : `I = ( 4+sqrt(2))/(12)`

4 : `J = (5sqrt(2) -8)/(12) `

Réponse

429

`int_0^(2pi) sqrt((1+cosx)/2) dx = `

1 : `4 `

2 : `pi -3`

3 : `0 `

4 : `4pi`

Réponse

443

1 : `int_0^1 (2x+2)/(x+1)^2dx = 3ln2 `

2 : ` int_1^(-1) e^(-x) dx = e -1/e `

3 : ` int_0^((pi)/2) sinx dx = 1/2 `

4 : `int_0^2 e^x/(1+e^x)dx = ln((1+e)/3) `

Réponse

452

Une grandeur `y` décroît au cours du temps `t ` selon la loi ` y = y_0 2^(-t) `
avec `y_0` est la valeur initiale de `y` a `t = 0 `

la valeur moyenne de `y` sur `[0,T]` est

1 : `1-2^(-T)`

2 : `Tln2`

3 : `y_0/(ln2)(1-2^(-T))`

4 : `y_0/(Tln2)(1-2^(-T))`

Réponse

459

`f` est la fonction définie sur `R` par `f(x)= cosx e^(sinx)`

1 : `f` est non périodique

2 : `f'(x)= (cos^2x+sinx)e^(sinx) `

3 : une primitive de `f` est `F(x)= sinxe^(sinx) -1 `

4 : l 'aire du domaine plan délimité par la courbe `C_f` et les droites `x= 0 ` et ` x= (pi)/2 ` est différent de `e+1` en unité d'aire

Réponse

460

On considère la fonction `f` définie par ` f(x)= int_0^x 1/(1+t^2)dt `

1 : `f` est paire

2 : `f'(x)= -(2x)/(1+x^2)^2`

3 : `f` est décroissante sur `R`

4 : pour tout ` x > 1 : f(x) < 2 `

Réponse

466

`lim_{ x to 0} (1-cos(5x))/(sin(3x)) = `

1 : `0 `

2 : ` -5/3 `

3 : `text{ n'existe pas } `

Réponse

468

si `int_0^x g(t) dt = x tan(pix) `

alors ` g(1/4) = `

1 : `(pi)/4`

2 : `1/4`

3 : `(pi +2)/2`

Réponse

472

`lim_{ x to 0} (arctan(2x))/x `

1 : `1 `

2 : ` 2 `

3 : `+infty `

Réponse

473

`lim_{ x to 0} (tan(pix))/(sin(pix)) `

1 : `(sqrt(pi))/(pi) `

2 : ` sqrt(pi) `

3 : `1 `

Réponse

474

`lim_{ x to 0} (arctanx )/(tan(5x)) `

1 : `(pi)/(10) `

2 : `(pi)/5`

3 : `1/5 `

Réponse

475

`lim_{ x to 0^+} (cosx)^(1/x) `

1 : `1 `

2 : `1/(sqrt(e))`

3 : `+infty `

Réponse

476

`int (1+tan^2x)/(4+tan^2x)dx = `

1 : `1/2 arctan(x/2) +K ; K in R `

2 : `1/2arctan((tanx)/2) +k ; K in R `

3 : `(arctanx)/4 +K ; K in R `

Réponse

482

`lim_{ x to 0} (xsinx)/(1-cosx) `

1 : ` 0 `

2 : `+infty`

3 : ` 1/2 `

4 : ` 2 `

Réponse

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Pour tout `n in N^(ast) ` On pose `u_n = 1/n prod_{k=1}^n (n+k)^(1/n)` alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

`lim_{ x to +infty} xsin(ln(1+1/x)) = `

`lim_{ x to +infty} e^xsin(e^(-x)) = `

On donne `33xx33 =1089 ` alors `333333333xx333333333 = `

Soient `a` et `b` deux réels non nuls alors

Soit `f` et `g` les fonctions définies par `f(x)=xe^(1-x^2)` et `g(x)=ax^2+bx` On cherche Tous les couples `(a,b)` tels que les courbes `C_f` et `C_g` aient la même tangente au point d'abscisse `1`

Soit `f(x)= 2(cosx)^2-sinx -1 ` et `(E)` est l'ensemble des solutions de l inéquation `f(x) < 0 `

le plan est rapporté à un repère orthonormé Soit `f` une fonction définie et dérivable sur `R` et le point `I(1,0)` est un point de symétrie de la courbe `C_f`

On considère la fonction `f` définie sur `R^(ast)` par `f(x)= (e^(2x+1) -e)/x`

Pour tout ` x in R^(ast) ` on pose ` f(x)= (abs(x))/x `

Soit `f` la fonction définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= x +1 -(lnx)/x^2 `

Soient deux fonctions `C(x)= 1/2(e^x+e^(-x))` et `S(x)= 1/2(e^x -e^(-x) )`

Choisir la bonne réponse

Soit ` f ` et `g` les fonctions définies par : `f(x)= arctan(x+1) -arctanx` `g(x)= arctan(1/(x^2+x+1)) `

Soit ` f ` et `g` les fonctions définies par : `f(x)= arctan(x+1) -arctanx` `g(x)= arctan(1/(x^2+x+1)) `

On pose `a = (e^(12) e^(-5+4sqrt(3)))^(7-4sqrt(3)) (e^(sqrt(290))/(e^(17)))^(sqrt(290)+17) = `

On pose `S_n = sum_{k=0}^n arctan(1/(k^2+k+1)) ` alors `S_n= `

`arctan(2) + arctan(3)= `

On pose `S_n = 1/nsum_{k=0}^(n-1) arctan(1/(k^2+k+1)) ` alors `lim_{ n to +infty} S_n = `

Cochez les bonne(s) réponse(s)

Soit ` (a,b) in R^2-(0,0)` `lim_{ x to 0} (ln(cosax))/(ln(cosbx)) = `

$$a=\sqrt[3]{ 20 +14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{ 20 -14\sqrt{2}}$$ alors `a = `

Soit `S` l'ensemble des solutions de l 'inéquation `1/x >= 1/x^3 ` alors `S=`

Soit `m ` une constante de `R` et `h` la fonction définie par `h(x)= x^m -(lnx)^2 ` laquelle des propositions est vraie

`lim_{ x to 1^-} (abs(1-x^2))/(1-x)`

la dérivée de la fonction `f : x->x+cos^2x ` est

On considère la fonction `f : x-> (sin^9x +cos^6x +1)/(e^(-x) +1) ` `lim_{ x to +infty} f(x)= `

`lim_{ x to 0} (e^x+1)/x `

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Deux formules pour réussir le concours

Pour tout `n in N^(ast) `

On pose `u_n = 1/n prod_{k=1}^n (n+k)^(1/n)`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

On donne `33xx33 =1089 ` alors

`333333333xx333333333 = `

Soit `f` et `g` les fonctions définies par `f(x)=xe^(1-x^2)` et `g(x)=ax^2+bx`

On cherche Tous les couples `(a,b)` tels que
les courbes `C_f` et `C_g` aient la même tangente au point d'abscisse `1`

Soit `f(x)= 2(cosx)^2-sinx -1 `

et `(E)` est l'ensemble des solutions de l inéquation `f(x) < 0 `

le plan est rapporté à un repère orthonormé

Soit `f` une fonction définie et dérivable sur `R` et le point `I(1,0)` est un point de symétrie de la courbe `C_f`

On considère la fonction `f` définie sur `R^(ast)` par

`f(x)= (e^(2x+1) -e)/x`

Soit `f` la fonction définie sur `]0,+infty[` par

`f(x)= x +1 -(lnx)/x^2 `

Soit ` f ` et `g` les fonctions définies par :

`f(x)= arctan(x+1) -arctanx`

`g(x)= arctan(1/(x^2+x+1)) `

Soit ` f ` et `g` les fonctions définies par :

`f(x)= arctan(x+1) -arctanx`

`g(x)= arctan(1/(x^2+x+1)) `

On pose `S_n = sum_{k=0}^n arctan(1/(k^2+k+1)) `

alors `S_n= `

On pose `S_n = 1/nsum_{k=0}^(n-1) arctan(1/(k^2+k+1)) `

alors `lim_{ n to +infty} S_n = `

Soit ` (a,b) in R^2-(0,0)`

`lim_{ x to 0} (ln(cosax))/(ln(cosbx)) = `

$$a=\sqrt[3]{ 20 +14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{ 20 -14\sqrt{2}}$$

alors `a = `

Soit `S` l'ensemble des solutions de l 'inéquation `1/x >= 1/x^3 `

alors `S=`

Soit `m ` une constante de `R`

et `h` la fonction définie par `h(x)= x^m -(lnx)^2 `

laquelle des propositions est vraie

On considère la fonction `f : x-> (sin^9x +cos^6x +1)/(e^(-x) +1) `

`lim_{ x to +infty} f(x)= `