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Derniers exercices .....


603

Pour tout `n in N^(ast) `

On pose `u_n = 1/n prod_{k=1}^n (n+k)^(1/n)`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `


1 : `e`
2 : `sqrt(e)`
3 : `e/4`
4 : `4/e `
Réponse

604

`lim_{ x to +infty} xsin(ln(1+1/x)) = `


1 : `1`
2 : `-1`
3 : `0`
4 : `+infty `
Réponse Notez

605

`lim_{ x to +infty} e^xsin(e^(-x)) = `


1 : `1`
2 : `-1`
3 : `0`
4 : `+infty `
Réponse Notez

594

On donne `33xx33 =1089 ` alors

`333333333xx333333333 = `


1 : `11111111088888889`
2 : `11111111088888889`
3 : `111111110888888889`
4 : `1111111088888889`
Réponse

595

Soient `a` et `b` deux réels non nuls alors


1 : `forall a in ]0,+infty[ : sqrt(a) < a < a^2 `
2 : si ` 0 < a < b <= 1 ` alors `sqrt(b)-sqrt(a) < b-a `
3 : si ` 1<= a < b ` alors `sqrt(b) -sqrt(a) < b-a `
Réponse

596

Soit `f` et `g` les fonctions définies par `f(x)=xe^(1-x^2)` et `g(x)=ax^2+bx`

On cherche Tous les couples `(a,b)` tels que
les courbes `C_f` et `C_g` aient la même tangente au point d'abscisse `1`


1 : si `(a,b)` est une solution alors `a+b =1`
2 : Tous les couples `(a,b)` tels que `2a+b=-1`
3 : le couple `(1,0)` est solution
Réponse

597

Soit `f(x)= 2(cosx)^2-sinx -1 `

et `(E)` est l'ensemble des solutions de l inéquation `f(x) < 0 `


1 : `f(x) < 0 <=> sinx > 1/2 `
2 : `E = ](pi)/6, +infty[`
3 : si ` x in ](pi)/6 , (5pi)/6[` alors `f(x) >= 0 `
Réponse

598

le plan est rapporté à un repère orthonormé

Soit `f` une fonction définie et dérivable sur `R` et le point `I(1,0)` est un point de symétrie de la courbe `C_f`


1 : `forall x in R : f(x)= f(2-x) `
2 : `forall x in R : f(1+x) + f(1-x)= 0 `
3 : `forall x in R : f'(1+x) +f'(1-x)= 0 `
Réponse

599

On considère la fonction `f` définie sur `R^(ast)` par

`f(x)= (e^(2x+1) -e)/x`


1 : `lim_{ x to 0} f(x)= e `
2 : l'axe des abscisses est asymptote à la courbe `C_f`
3 : `forall x ne 0 : f'(x)=e/x^2[ (x-1)e^(2x)+1] `
Réponse

537

Pour tout ` x in R^(ast) ` on pose ` f(x)= (abs(x))/x `


1 : `lim_{ x to 0} f(x)= 0 `
2 : `lim_{ x to 0} f(x)= 1 `
3 : `text{ limite en 0 de f n'existe pas } `
4 : `text{ f est dérivable en 0} `
Réponse

538

Soit `f` la fonction définie sur `]0,+infty[` par

`f(x)= x +1 -(lnx)/x^2 `


1 : `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `
2 : `y = x+1` est une asymptote oblique à la courbe `C_f`
3 : la fonction `F` définie sur `I= ]0,+infty[` par `F(x)= (x^3-1+2lnx)/x^3` est une primitive de `f` sur `I`
4 : `f` est décroissante sur pour tout ` x>= 1 `
Réponse

539

Soient deux fonctions `C(x)= 1/2(e^x+e^(-x))` et `S(x)= 1/2(e^x -e^(-x) )`


1 : `C^2(x) -S^2(x)= 1`
2 : les deux fonctions sont positives
3 : `C' = S ` et `S' = C `
4 : les deux fonctions sont décroissantes
Réponse

540

Choisir la bonne réponse


1 : `int_0^1 (2x+2)/(x+1)^2dx = 3ln2 `
2 : `int_(1)^(-1) e^(-x)dx = e -e^(-1) `
3 : `int_0^((pi)/2)cosx sinx dx = 1/2 `
4 : `int_0^2 e^x/(1+e^x) dx = ln((1+e)/3) `
Réponse

543

Soit ` f ` et `g` les fonctions définies par :

`f(x)= arctan(x+1) -arctanx`

`g(x)= arctan(1/(x^2+x+1)) `


1 : `forall x in ]-infty , 0] : -(pi)/2 < g(x) < 0 `
2 : `forall x in R : -pi < f(x) < 0 `
3 : `forall x in R : 0 < f(x) < pi `
4 : `forall x in [0,+infty[ : 0 < f(x) < (pi)/2 `
Réponse

544

Soit ` f ` et `g` les fonctions définies par :

`f(x)= arctan(x+1) -arctanx`

`g(x)= arctan(1/(x^2+x+1)) `


1 : `forall x in R : tan(f(x))= tan(g(x))`
2 : `forall x in R : f(x)= g(x) -pi `
3 : `forall x in [0,+infty[ : f(x)= g(x) `
4 : `forall x in ]-infty , 0] :f(x) = g(x) +pi `
Réponse

564

On pose `a = (e^(12) e^(-5+4sqrt(3)))^(7-4sqrt(3)) (e^(sqrt(290))/(e^(17)))^(sqrt(290)+17) = `


1 : `e`
2 : `1/e`
3 : `e^2`
Réponse

546

On pose `S_n = sum_{k=0}^n arctan(1/(k^2+k+1)) `

alors `S_n= `


1 : `arctan(n)`
2 : `arctan(n) -1`
3 : `arctan(n+1)`
4 : `arctan(n -1)`
Réponse

547

`arctan(2) + arctan(3)= `


1 : `-(pi)/4`
2 : `(3pi)/4`
3 : `text{ autre réponse }`
Réponse

548

On pose `S_n = 1/nsum_{k=0}^(n-1) arctan(1/(k^2+k+1)) `

alors `lim_{ n to +infty} S_n = `


1 : `(pi)/4`
2 : `0 `
3 : `1`
4 : `+infty`
Réponse

549

Cochez les bonne(s) réponse(s)


1 : `forall x in R : 1+x < e^x`
2 : `forall x in R-{1} x+1<= e^x <= 1/(1-x) `
3 : `forall x in ]0,1[ : x+1 < e^x < 1/(1-x) `
4 : `forall x > 1 : ln((x+1)/x) < 1/x < ln(x/(x-1)) `
Réponse

551

Soit ` (a,b) in R^2-(0,0)`

`lim_{ x to 0} (ln(cosax))/(ln(cosbx)) = `


1 : `a/b`
2 : `a^2/b^2 `
3 : `b^2/a^2 `
Réponse

555



alors `a = `


1 : `1`
2 : `2`
3 : `3`
4 : `4`
Réponse

558


Soit `S` l'ensemble des solutions de l 'inéquation `1/x >= 1/x^3 `

alors `S=`


1 : `]-infty , 1]`
2 : `[1,+infty[`
3 : `[-1, 0[`
4 : `[-1, 0[ cup[1,,+infty[`
Réponse

559


Soit `m ` une constante de `R`

et `h` la fonction définie par `h(x)= x^m -(lnx)^2 `

laquelle des propositions est vraie


1 : si `m > 0 ` : `lim_{ x to +infty} h(x)= 0 `
2 : si `m < 0 ` : `lim_{ x to 0 } h(x)= 0 `
3 : si `m <= 0 ` : `lim_{ x to +infty} h(x)= 0 `
4 : si `m > 0 ` : `lim_{ x to +infty} h(x)= +infty `
Réponse

565


`lim_{ x to 1^-} (abs(1-x^2))/(1-x)`


1 : `-2`
2 : `1`
3 : `2`
4 : `text{ n'existe pas} `
Réponse

566

la dérivée de la fonction `f : x->x+cos^2x ` est


1 : `text{ paire } `
2 : `text{ ne s'annule pas } `
3 : `text{ à valeurs toujours positives } `
4 : `text{ autre réponse } `
Réponse

567

On considère la fonction `f : x-> (sin^9x +cos^6x +1)/(e^(-x) +1) `

`lim_{ x to +infty} f(x)= `


1 : `0 `
2 : `1 `
3 : `+infty `
4 : `text{n'existe pas } `
Réponse

568

`lim_{ x to 0} (e^x+1)/x `


1 : `1 `
2 : `+infty `
3 : `-infty `
4 : `text{n'existe pas } `
Réponse

570

On considère la fonction `f` définie par `f(x)= 2x+1+sqrt(4x^2+4x)`


1 : `D_f = [0,+infty[ `
2 : `text{ f est dérivable sur D_f} `
3 : `lim_{ x to 0^+} (f(x) -1)/x = 0 `
4 : la courbe `C_f` présente en `A(0,1)` une demi-tangente verticale
Réponse

572

Cocher la bonne réponse


1 : `cosacosb = 1/2( sin(a+b) +cos(a-b)) `
2 : `sinasinb = 1/2( cos(a+b) +sin(a-b)) `
3 : `sinacosb = 1/2( cos(a+b) +cos(a-b)) `
4 : `cosa + cosb = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)`
Réponse

573


Soit ` x `, ` y ` , `a` et `b` des réels tels que ` x <= y ` et ` a <= b `
laquelle des propositions est toujours vraie


1 : `x^2 <= y^2 `
2 : `x-a <= y -b `
3 : `1/4e^(y+b) - 1/5e^(x+a) +0,05 >= 0 `
4 : `xa <= by `
Réponse

574

Soit `n in N ` la dérivée d'ordre `n +1` de la fonction ` f(x)= x^n e^(1/x)` est


1 : `(-1)^n/x^(n+2)e^(1/x) `
2 : `(-1)^(n+2)/x^(n+2)e^(1/x) `
3 : `(-1)^(n+3)/x^(n+2)e^(1/x) `
4 : `(-1)^(n+1)/x^(n+1)e^(1/x) `
Réponse

575

`int_0^((pi)/2) sin^2xcos^3x dx `


1 : `(2pi)/(15) `
2 : `(4pi)/(15) `
3 : `(2)/(15) `
4 : `(4)/(15) `
Réponse

577

`int_0^((pi)/2) sin^4xcos^5x dx `


1 : `(8pi)/(315) `
2 : `(4pi)/(315) `
3 : `(8)/(315) `
4 : `(4)/(315) `
Réponse

580

On considère la fonction `f` définie par

`f(x)= 2/(pi) x arctan(1/(abs(x))) -2x text{ si } x ne 0 `

`f(0)= 0 `


1 : `D_f = [0,1]`
2 : `f ` est continue en `0`
3 : `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `
4 : `y = -2x+2/(pi) ` est asymptote à la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `
Réponse

581

Cochez la bonne réponse

Soit ` x in [0, +infty[`

`n ` et `p` deux entiers naturels non nuls


1 : $$\sqrt[n]{x}^n = x $$
2 : $$\sqrt[n]{x^n} = x $$
3 : $$\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[m+n]{x} $$
4 : $$\sqrt[n]{x} \sqrt[m]{x} = \sqrt[mn]{x^{m+n}} $$
Réponse

585

On considère la fonction `f` définie par $$ f(x)=\sqrt[3]{x^2} -\sqrt[3]{x^2-4} $$


1 : `D_f = ]-infty , -2] cup ]2,+infty[`
2 : `f` est dérivable sur `]-infty , -2] cup ]2,+infty[`
3 : `lim_{ x to 2^+} (f(x) -f(2))/(x-2)= +infty `
4 : `lim_{ x to +infty} f(x)= 0 `
Réponse

588

`int_0^((pi)/2) sin^4xcos^4x dx `


1 : `(3pi)/(256) `
2 : `(6pi)/(256) `
3 : `(3)/(256) `
4 : `(6)/(256) `
Réponse

533

le reste de la division euclidienne de `2^(331) + 3^(1002)` par `11` est


1 : ` 0`
2 : `1`
3 : `5`
Réponse

552

Pour tout ` n >= 5 `

On pose `u_n=(1+sqrt(2))^n = a_n +b_nsqrt(2)`

alors


1 : ` (1-sqrt(2))^n = b_n -a_nsqrt(2) `
2 : `a_n^2-2b_n^2= 1 `
3 : `(1+sqrt(2))^n +(1-sqrt(2))^n = E( u_n)`
4 : `PGCD(a_n, b_n)= 1 `
Réponse

557

Cocher la bonne réponse


1 : `text{ le produit d'un rationnel par un irrationnel est irrationnel }`
2 : `text{ la somme de deux irrationnels est irrationnelle }`
3 : `text{ le produit de deux irrationnels est irrationnel }`
4 : `text{ la somme d'un rationnel et un irrationnel est irrationnelle }`
Réponse Notez

582

Soit `E, ` et `F` deux ensembles finis avec `card(E)=m` et `cardF=n `


1 : `Card(E cup F)= cardE +cardF`
2 : `Card(E cup F)= card(E) +card(F) -card(EcapF) `
3 : `Card(ExxF)= cardE * cardF `
4 : `Card(P(E))= 2^m `
Réponse

583

Soit `A` et `B` deux parties d'un ensemble `X` on note `P(A)` la probabilité d'un événement `A` avec `P(A) ne 0 `


1 : `P(A cap B)= P(A)P(B)`
2 : `P(A cup B)= P(A) +P(B) -P(A cap B) `
3 : `P(A text{/} B) P(A)= P(A cap B) P(B) `
4 : `P(bar(A))= 1 -P(A) `
Réponse


489

On considère la fonction `f` définie sur `R-{ -1}` par ` f(x)= (1-x)/(1+x) `


1 : la courbe de la fonction ` g_1 : x-> abs((x-1)/(1+x))` se déduit de la courbe `C_f` par une symétrie par rapport à l'axe des `y `
2 : la courbe de la fonction ` g_2 : x-> (x+3)/(x+1)` se déduit de `C_f ` par une translation de vecteur ` vec(u)(0,-2)`
3 : la courbe de la fonction ` g_3 = (x-1)/(1+x) ` se déduit de la courbe `C_f` par une symétrie par rapport à l'axe des `x`
4 : la courbe de la fonction ` g_4 : x-> (1-2x)/(2x+1)` se déduit de `C_f` par une homothétie de centre `0` et de rapport `2 `
Réponse

491

On considère la fonction `f` définie sur `R` par ` f(x)= ln((1+e^x)/2) ` et `C_f` sa courbe dans un repère orthonormé


1 : ` f'(x)= 1/(1+e^x) `
2 : la droite ` y = x -2 ` est asymptote a la courbe `C_f`
3 : `lim_{ x to +infty} (f(x))/x = 1 `
4 : la droite ` y = ln2 ` est asymptote à la courbe `C_f`
Réponse

492

`f` et `g` deux fonctions définies sur `R` par ` f(x)= x^2 +1` et `g(x)= e^(x+1) `


1 : ` fog(x) = e^(x^2+2) `
2 : ` (fog(x))' = 2xe^(x^2+2) `
3 : `fog` est croissante
4 : `lim_{ x to +infty} (g(x))/(f(x)) =0 `
Réponse

493


1 : ` x-> ((x-1)(x^2+x+1))/x^3 ` est la dérivée de ` x-> (2x^3-5x^2+1)/x^2 ` sur `R`
2 : ` x-> sinx abs(cosx)^(3/2) ` est la dérivée ` x-> (cosx)^(5/2)` sur `R`
3 : `x-> ln(x^2+x+1) + (x(2x+1))/(x^2+x+1) ` est la dérivée de la fonction `x-> xln(x^2+x+1)` sur `R`
4 : ` x-> e^(sqrt(2x+5))/(2sqrt(2x+5))` est la dérivée de la fonction ` x-> e^(sqrt(2x+5))` sur `]-5/2,+infty[`
Réponse

502

On a `lim_{ x to (pi)/2 } (x-(pi)/2)tanx `


1 : `0`
2 : `1`
3 : `-1`
4 : `+infty`
Réponse

513

On pose `v_n = int_e^n 1/(x(lnx)^3)dx `

`lim_{ n to +infty} v_n = `


1 : `1/2`
2 : `+infty`
3 : `2/(e^2)`
Réponse

518

`lim_{ x to 0^+ } x e^(1/x-1)= `


1 : `0`
2 : 1
3 : `+infty`
4 : ` text{ autre valeur }`
Réponse

530

Soit `(u_n)` la suite définie par

`u_0= -1 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= u_n^2 +1 `


1 : la suite `(u_n)` est positive pour tout ` n in N `
2 : la suite `(u_n)` est croissante
3 : `forall n in N : u_n <= 16sqrt(2) `
4 : la suite `(u_n)` est convergente
Réponse

541





1 : ` forall x in R : cos(5x)= 16cos^5x + 5cosx `
2 : ` forall x in R : cos(5x)= 16cos^5x -20cos^3x+ cosx `
3 : `cos((pi)/(10)) = sqrt( (5+sqrt(5))/8) `
4 : `cos((pi)/(10)) = sqrt( (5-sqrt(5))/8) `
Réponse

542

On considère l'équation `(E) : sum_{k=1}^n C_n^kcos(2kx)= C_n^1cos(2x)+C_n^2cos(4x) + ....C_n^ncos(2nx) = 0 `


1 : `sum_{k=1}^n C_n^k sin^2(kx)=2^n `
2 : `sum_{k=1}^n C_n^kcos(2kx)= cos(nx)((cosx)/2)^n `
3 : l'ensemble des solutions est `S= {(pi)/n+(kpi)/n ; k in Z } cup{ (pi)/2 +kpi ; k in Z }`
4 : `text{ autre réponse } `
Réponse

586

Cochez le(s) bonne(s) propositions

Soit `a` et `b` deux complexes


1 : `arg(ab)= arg(a) +arg(b)`
2 : `arg(a)= -arg(bar(a)) = arg(1/a) `
3 : `arg(a)+ arg(b)= arg(a+b)`
4 : `arg(a/b)= arg(a) -arg(b) `
Réponse

587

Cochez le(s) bonne(s) propositions

Soit `a` et `b` deux complexes


1 : `1/a = (bar(a))/(abs(a))^2`
2 : `abs(Re(a)) <= abs(a) `
3 : `abs(abs(a) -abs(b)) <= abs(a+b) `
4 : `Re(abar(b)) = abs(a)abs(b) `
Réponse

600

Soit `E` l'équation d'inconnue `z` définie `z^3=bar(z)`


1 : si `abs(a)=1` alors `a` est solution de `E`
2 : si` a= (kpi)/2; k in Z ` alors `cosa -isin(a)` est solution de `(E)`
3 : les solutions de `(E)` sont les complexes tels que `a= 1` ou `a^4=1`
Réponse

601

Soit `f ` l'application qui a pour tout `M(z)` associe `M(z')` telle que `z' = (2z+1)/(z-1)`


1 : l'ensemble des points tels que `z'` soit réel est l'axe des réels
2 : l'ensemble des points tels que `z'` est imaginaire pur est inclus dans un cercle
3 : l'ensemble des points tels que `abs(z')=2` est un cercle
Réponse

506

On considère la suite `(u_n)` définie par

` u_0 = 1 `

` forall n in N : u_(n+1)= 3sqrt(u_n) `

alors


1 : `(u_n)` est décroissante
2 : `lim_{ n to +infty} u_n = 0 `
3 : ` lim_{ n to +infty} u_n = 9 `
4 : ` lim_{ n to +infty} u_n = +infty `
Réponse Notez

509

On pose `S_n = sum_{k=2}^n 1/(k^2-1)`

alors `lim_{ n to +infty} S_n = `


1 : `3/2`
2 : `4/3 `
3 : ` +infty `
Réponse Notez

510

`lim_{ n to +infty} ((-1)^n e^n)/(pi^(n+1))= `


1 : `1/(pi)`
2 : `0`
3 : `text{ n'existe pas } `
Réponse Notez

501

On a `lim_{ x to 1 } x e^(1/(tanx)) `


1 : `0`
2 : `1`
3 : `+infty`
4 : `text{ n' a pas de limite }`
Réponse

481




1 : `int_1^e xlndx = (e^2+1)/2 `
2 : `int_1^2 (lnx)/x^2 dx = ln((27)/4) +1 `
3 : `int_2^3lnx dx = 1/2-lnsqrt(2)`
4 : `int_0^1 x^2e^(-x)dx = 2- 5/e `
Réponse

445




1 : `int_k^2 ln((x-1)/x) dx = -2ln2 +ln(k-2) ; k in ]1, 2[ `
2 : ` int_0^((pi)/3)cos^3xdx = (3sqrt(3))/(11) `
3 : ` int_(-2)^0 ( abs(x+1) +4/(x-1)) dx = 1-4ln3 `
4 : `int_0^2 (x-2)e^(2x+1)dx =5/4e -(13)/7e^5 `
Réponse Notez

39

soit `(u_n)` une suite numérique et `L ne 0 `

On considère les assertions suivantes

1 `lim_{ n to +infty} u_n =L => lim_{ n to +infty} abs(u_n)= abs(L) `

2 `lim_{ n to +infty} abs(u_n)= abs(L)=> lim_{ n to +infty} u_n = L `

3 `lim_{ n to +infty} u_n = 0 <=> lim_{ n to +infty} abs(u_n)= 0 `

alors


1 : seulement 1) est vraie
2 : seulement 1) et 3) sont vraies
3 : 1) , 2) 3) sont vraies
Réponse

477

`lim_{ h to 0} 1/h int_(sqrt(3))^(sqrt(3)+h) 1/(arctanu)du = `


1 : `3/(pi)`
2 : `0`
3 : `sqrt(3) `
Réponse Notez

478

`lim_{ n to +infty } int_(sqrt(e))^n 1/(xlnx)^2dx = `


1 : `+infty `
2 : `1/e`
3 : `2 `
Réponse

479

`f(x)= int_(1+x)^(1+x^2) e^(-sqrt(t)) dt = `

la tangente à la courbe `C_f` en `1` admet pour équation


1 : `y = e^(-sqrt(2)) (x-1) `
2 : `y = e^(-sqrt(2)+1) (x-1) `
3 : `text{ ls données sont insuffisantes pour déterminer la tangente } `
Réponse Notez

480

` int sqrt(x) lnx dx = `


1 : `ln(xsqrt(x))(3lnx-2) +K ; k in R `
2 : ` 2/9xsqrt(x)(3lnx-2) + k ; k in R `
3 : `2/9(ln(xsqrt(x))/2 +k ; k in R `
Réponse

484

Soit `z_1 = sqrt(3) -i ` et `z_2 = 2i -z_1 ` deux nombres complexes



1 : `text{ le module de } z_1^(-1) ` est ` 2 `
2 : `arg(z_2)= (7pi)/6 `
3 : `arg(z_2/z_1)= -(pi)/2 `
4 : `abs(z_2/z_1)= -sqrt(3) `
Réponse

488

Soit `f` la fonction définie par

`f(x)= cos^2x sin^3x`


1 : `f` est paire
2 : `f` est `pi ` périodique
3 : la courbe `C_f` dans un repère orthonormé est symétrique par rapport à `O`
4 : `int_0^(pi) f(t) dt = int_(-pi)^0 f(t) dt `
Réponse

495




1 : `int_0^2 abs(x^2-x)dx = 2/3`
2 : ` x->(x+2)e^(-x)` est une primitive de ` x->(x+1)e^(-x) `
3 : `x->2sqrt(x^2+x+1)` est une primitive de la fonction ` x-> (2x+1)/(sqrt(x^2+x+1)) `
4 : `x-> lnabs(2+3sinx)` est une primitive de la fonction ` x-> (cosx)/(2+3sinx) `
Réponse

496

Soit ` f(x)= x + sqrt(abs(4x^2-1)) `


1 : `forall x in R-{-1/2, 1/2} : f'(x)= (sqrt(abs(4x^2-1)) -4x)/(sqrt(abs(4x^2-1)))`
2 : la droite `y =x ` est une asymptote à la courbe `C_f`
3 : la tangente à la courbe `C_f` au point `A(0,1)` a pour équation `y = x+1 `
4 : la droite ` y = -3x ` est asymptote à la courbe `C_f`
Réponse

498

`1/(sqrt(2pi)) int_(-infty)^(+infty) e^(-x^2/2) dx = `


1 : `1/2 `
2 : `1 `
3 : `0`
4 : `pi `
Réponse

514

`f(x)= int_(sqrt(x))^(x^2) e^(t^2) dt = `

la tangente à la courbe `C_f` en `1` admet pour équation


1 : `y = (3e)/2 (x-1) `
2 : `y = e^x - (e+1) `
3 : `text{ ls données sont insuffisantes pour déterminer la tangente } `
Réponse Notez

515

`int (tan(sqrt(x))/(sqrt(x))) = `


1 : ` ln(1/(cos^2x)) + k `
2 : ` -ln(cos(sqrt(x))) + k `
3 : ` ln(1/(cos^2(sqrt(x)))) + k `
Réponse

517

On considère les intégrales

`I = int_0^((pi)/4)sinxcos^2xdx `

`J = int_0^((pi)/4)sin^3xdx `


1 : `2I = int_(-(pi)/4)^((pi)/4)sinxcos^2xdx `
2 : `I+J = -(sqrt(2))/2 +1 `
3 : `I = ( 4+sqrt(2))/(12)`
4 : `J = (5sqrt(2) -8)/(12) `
Réponse

429

`int_0^(2pi) sqrt((1+cosx)/2) dx = `


1 : `4 `
2 : `pi -3`
3 : `0 `
4 : `4pi`
Réponse

443




1 : `int_0^1 (2x+2)/(x+1)^2dx = 3ln2 `
2 : ` int_1^(-1) e^(-x) dx = e -1/e `
3 : ` int_0^((pi)/2) sinx dx = 1/2 `
4 : `int_0^2 e^x/(1+e^x)dx = ln((1+e)/3) `
Réponse

452

Une grandeur `y` décroît au cours du temps `t ` selon la loi ` y = y_0 2^(-t) `
avec `y_0` est la valeur initiale de `y` a `t = 0 `

la valeur moyenne de `y` sur `[0,T]` est


1 : `1-2^(-T)`
2 : `Tln2`
3 : `y_0/(ln2)(1-2^(-T))`
4 : `y_0/(Tln2)(1-2^(-T))`
Réponse

459

`f` est la fonction définie sur `R` par `f(x)= cosx e^(sinx)`


1 : `f` est non périodique
2 : `f'(x)= (cos^2x+sinx)e^(sinx) `
3 : une primitive de `f` est `F(x)= sinxe^(sinx) -1 `
4 : l 'aire du domaine plan délimité par la courbe `C_f` et les droites `x= 0 ` et ` x= (pi)/2 ` est différent de `e+1` en unité d'aire
Réponse

460

On considère la fonction `f` définie par ` f(x)= int_0^x 1/(1+t^2)dt `


1 : `f` est paire
2 : `f'(x)= -(2x)/(1+x^2)^2`
3 : `f` est décroissante sur `R`
4 : pour tout ` x > 1 : f(x) < 2 `
Réponse

466

`lim_{ x to 0} (1-cos(5x))/(sin(3x)) = `


1 : `0 `
2 : ` -5/3 `
3 : `text{ n'existe pas } `
Réponse

468

si `int_0^x g(t) dt = x tan(pix) `

alors ` g(1/4) = `


1 : `(pi)/4`
2 : `1/4`
3 : `(pi +2)/2`
Réponse

472

`lim_{ x to 0} (arctan(2x))/x `


1 : `1 `
2 : ` 2 `
3 : `+infty `
Réponse

473

`lim_{ x to 0} (tan(pix))/(sin(pix)) `


1 : `(sqrt(pi))/(pi) `
2 : ` sqrt(pi) `
3 : `1 `
Réponse

474

`lim_{ x to 0} (arctanx )/(tan(5x)) `


1 : `(pi)/(10) `
2 : `(pi)/5`
3 : `1/5 `
Réponse

475

`lim_{ x to 0^+} (cosx)^(1/x) `


1 : `1 `
2 : `1/(sqrt(e))`
3 : `+infty `
Réponse

476

`int (1+tan^2x)/(4+tan^2x)dx = `


1 : `1/2 arctan(x/2) +K ; K in R `
2 : `1/2arctan((tanx)/2) +k ; K in R `
3 : `(arctanx)/4 +K ; K in R `
Réponse

482

`lim_{ x to 0} (xsinx)/(1-cosx) `


1 : ` 0 `
2 : `+infty`
3 : ` 1/2 `
4 : ` 2 `
Réponse


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