Préparation aux concours de la médecine et ENSA

Modèle des exercices écrits .....

794

On considère la fonction `f` définie par `f(x)= x-(lnx)^2/x `

`=> f'(x)= `

1 : ` 1+(2lnx -(lnx)^2)/x^2`

2 : ` 1-(2lnx -(lnx)^2)/x^2`

3 : ` -1+(2lnx -(lnx)^2)/x^2`

4 : ` -1-(2lnx -(lnx)^2)/x^2`

5 : ` 1+(2lnx +(lnx)^2)/x^2`

Réponse

On considère la suite `(v_n)` définie par `v_n = underbrace{0,6666666}_{ 6 est n fois } `

Alors `lim_{ n to +infty} v_n = `

1 : ` 2/3 `

2 : ` 0 `

3 : ` 1 `

4 : `0,6`

Réponse Notez

786

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j) )`

On considère le point `A(1, 2) ` et le réel `x` : ` x > 1 `

Pour chaque point `M(x, 0) ` on associe `M'(0,y)` tel que les points `M, A, M'` sont alignés

la valeur de `x` pour laquelle l'aire du triangle `OMM'` est minimale est

1 : ` 2 `

2 : `4`

3 : `3/2`

4 : `9/2`

Réponse

733

`u_n = (sinn + (-1)^n )/(ln(1+n))`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

1 : `0`

2 : `1`

3 : `+infty`

4 : ` -1 `

5 : `text{ n existe pas } `

Réponse

731

On pose `u_n = (2^n +n^2)/(n^2e^n+1)`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

1 : `0`

2 : `1`

3 : `+infty`

4 : `-infty`

5 : `-1`

Réponse

757

On pose `u_n = n -sqrt(n^2-n)`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

1 : `-infty`

2 : `0`

3 : `1/2`

4 : `1 `

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

760

On pose `u_n = sqrt(n^2-an+2) +sqrt(n^2+bn+1) -2n`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

1 : ` (a+b)/2 `

2 : `a-b`

3 : `(a-b)/2`

4 : `(abs(a) -abs(b))/2 `

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

768

Soit `(v_n)_(n>=1)` une suite telle que `v_1+v_2+...+v_n =2n^2+n` alors

`v_8 = `

1 : ` 31 `

2 : `53`

3 : `54`

4 : `62 `

5 : `64 `

Réponse

774

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 in ]0,1[ ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f(u_n)`

avec ` forall x in [0,1]` : ` f(x) = (sqrt(x))/(sqrt(x) +sqrt(1-x))`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

1 : ` 0 `

2 : `1`

3 : `1/3`

4 : `+infty`

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

789

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0= 1` et `forall n in N : u_(n+1)= u_n +n `

1 : ` (u_n)` est arithmétique

2 : ` (u_n)` est géométrique

3 : `lim_{ n to +infty} u_n/n = 1 `

4 : `lim_{ n to +infty} u_n/n^2 = 0 `

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

791

Pour tout ` n>= 1`

On pose `u_n= 1/2 +1/2^2+....+1/2^n ` et `ln(v_n) = u_nln2 `

1 : `lim_{ n to +infty} u_n = 1 ` et `lim_{ n to +infty} v_n = ln2 `

2 : `lim_{ n to +infty} u_n = 1/2 ` et `lim_{ n to +infty} v_n = ln2 `

3 : `lim_{ n to +infty} u_n = 2 ` et `lim_{ n to +infty} v_n = 1 `

4 : `lim_{ n to +infty} u_n = 1/2 ` et `lim_{ n to +infty} v_n = 2 `

5 : `lim_{ n to +infty} u_n = 1 ` et `lim_{ n to +infty} v_n = 2`

Réponse

793

On considère la suite `(u_n)` définie par `forall n in N : u_n= ln(1+n*e^(-n)) ` alors

1 : ` (u_n)` est bornée

2 : ` lim_{ n to +infty} u_n = +infty `

3 : ` lim_{ n to +infty} u_n = 1 `

4 : ` lim_{ n to +infty} u_n = 0 `

5 : `text{ divergente } `

Réponse

729

Donne une forme trigonométrique du complexe `z= 1+sqrt(2) +i `

Réponse Notez

730

`z= (1+isqrt(3))^(2007) = `

1 : `2^(2007)`

2 : `-2^(2007)`

3 : `2^(2007)(1+isqrt(3))`

4 : `2^(2007)(1-isqrt(3))`

5 : `-2^(2007) (1+isqrt(3))`

Réponse Notez

753

On pose `z= (sqrt(2) -sqrt(3))e^((pi)/4i) `

alors

1 : `arg(z+bar(z)) = 0 [2pi] `

2 : `arg(z+bar(z)) = (pi)/2 [2pi] `

3 : `arg(z+bar(z)) = pi [2pi] `

4 : `arg(z+bar(z)) = pi [pi] `

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse Notez

754

Dans `C` l'ensemble des solutions de l'équation `(2z-1)/(z+1)= z ` est

1 : `{-1, 1/2} `

2 : `{1+isqrt(3) , 1-isqrt(3)} `

3 : `{1+isqrt(3))/2 , (1-isqrt(3))/2 `

4 : `{ isqrt(3) , -isqrt(3)} `

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

756

si `z= e^(-ia) -e^(ia) ` avec `a in
]0,pi[` alors `abs(z)=`

1 : `2 `

2 : `2cosa `

3 : `2cos(a/2) `

4 : `2sin(a) `

5 : `2sin(a/2) `

Réponse

759

Dans l'ensemble des complexes si

`arg(iz)= (7pi)/6[2pi]` et `abs(z)=sqrt(2)`

alors `z^3 = `

1 : `0 `

2 : `2sqrt(2) `

3 : `sqrt(2) `

4 : `-sqrt(2) `

5 : `-2sqrt(2) `

Réponse

761

Dans l'ensemble des complexes si

` abs(z) -z = 3-isqrt(3) `

alors `abs(z)= `

1 : `0 `

2 : `2 `

3 : `2sqrt(3) `

4 : `3sqrt(2) `

5 : `7sqrt(2) `

Réponse

762

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct on considère les points `A(-i)` et `B(i)`

l'ensemble des points `M(z)` tel que ` abs((iz-1)/(bar(z)+i)) = 1 `

1 : la médiatrice du segment `[AB]`

2 : la droite `(AB)`

3 : la droite `(AB)` privée de `B`

4 : le cercle de diamètre `[AB]`

5 : le cercle de diamètre `[AB]` privé de `B`

Réponse

776

Soit `z` un complexe tel que `arg(z)= (pi)/8` et `abs(z)=4cos((pi)/8)` alors

1 : `z= sqrt(2) + 2 + isqrt(2) `

2 : `z= sqrt(2) + 2(1+i) `

3 : `z= sqrt(sqrt(2) + 2 )+ isqrt(2) `

4 : `z= sqrt(sqrt(2) + 2 )+ 2i `

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

777

Choisir la bonne réponse

1 : `cos(3x)= 4cos^3x -3cosx `

2 : `cos(3x)= 4cosx -3cos^3x `

3 : `cos(3x)= 4cos^3x -3cos^2x`

4 : `cos(3x)= 3cos^3(x) -2cosx `

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

782

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

l'ensemble des points `M(z)` : `abs(z)= abs(z-1)= 2 ` est

1 : `text{ union de deux cercles } `

2 : `text{ triangle isocèle } `

3 : `text{ droite } `

4 : `text{ un point } `

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

726

`lim_{ n to +infty} ((n-1)/(n+1))^(n^2) `

1 : ` 0 `

2 : `1 `

3 : `e^2 `

4 : `e^(-2)`

5 : `+infty `

Réponse

727

$$ lim_{ x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+8} -2}{x} = $$

Réponse

728

Soit `(v_n)_(n >= 1) ` une suite telle que :

`v_1+v_2+....v_n = 2n^2+n `

alors `v_8 = `

1 : `31`

2 : `53`

3 : `54`

4 : `62`

5 : `64`

Réponse

723

`lim_{ x to -infty} e^xln(1+e^(-x)) = `

1 : `1`

2 : `0 `

3 : `+infty `

4 : ` -infty `

Réponse

724

on pose `f(x)= e^xln(1+e^(-x)) `

alors ` f(x) `

1 : `f'(x) -e^x/(1+e^x) `

2 : `-f'(x) + e^x/(1+e^x) `

3 : `f'(x) +e^x/(1+e^x) `

4 : `-f'(x) -e^x/(1+e^x) `

Réponse

725

on pose `f(x)= e^xln(1+e^(-x)) `

alors ` int_0^(ln2) f(x) dx = `

1 : ` 3ln3 -4ln2 `

2 : `4ln3 +2ln2 `

3 : `ln3+2ln2 `

4 : `ln3-2ln2 `

Réponse

696

`lim_{ x to 0} ( sqrt(ln(e+x)) -1)/(sqrt(x+1) -1) `

1 : ` 1/(2e) `

2 : `1/e `

3 : `1`

4 : `e `

5 : `2e`

Réponse Notez

697

si ` f(x)= 1/(1-x)ln(1+1/x) `

alors `f'(x)= `

1 : ` 1/(1-x)^2ln(1+1/x) + 1/(x(1-x^2)) `

2 : ` 1/(1-x)^2ln(1+1/x) - 1/(x(1-x^2)) `

3 : ` 1/(1-x^2) ln(1+1/x) - 1/(x(1-x^2)) `

4 : ` 1/(1-x)^2ln(1+1/x) - 1/(x(1-x)^2) `

5 : ` 1/(1-x)^2ln(1+1/x) - 1/((1-x^2)) `

Réponse Notez

698

le nombre `((7-15i)/(15+7i))^(2021)`

1 : ` i `

2 : ` -1 `

3 : ` -i `

4 : ` 7-15i `

5 : ` 7+15i `

Réponse Notez

699

soit ` x in ]0,1[ `

`lim_{ n to +infty} (1-x+x^2-....+(-1)^nx^n)=`

1 : ` 1/(x-1) `

2 : ` 1/(1-x) `

3 : ` 1 `

4 : `-1/(1+x) `

5 : ` 1/(1+x) `

Réponse Notez

700

le nombre de solutions de l'équation `x^5+x-1 = 0 `

1 : ` 0 `

2 : ` 1 `

3 : ` 2 `

4 : `3 `

5 : ` 5 `

Réponse Notez

701

dans l'ensemble `C`

si `abs(z)bar(z)=15 -20i `

alors `abs((1+i)z)= `

1 : ` sqrt(2) `

2 : ` 2sqrt(2) `

3 : ` 3sqrt(2) `

4 : `4sqrt(2) `

5 : ` 5sqrt(2) `

Réponse Notez

702

soit `f` la fonction définie sur `R^(ast) ` par

` f(x)= (sqrt(ln(1+x^2)))/x `

1 : ` lim_{ x to 0} f(x) = 1 `

2 : ` lim_{ x to 0} f(x) = -1 `

3 : ` lim_{ x to 0} f(x) = 1/2 `

4 : ` lim_{ x to 0} f(x) = 0 `

5 : ` text{ n'admet pas de limite } `

Réponse Notez

703

`u_n` est la suite définie par `u_0 = 1 `

et ` forall n in N : u_(n+1)=u_n^2 +u_n `

alors la limite de la suite `u_n` si elle existe est égale à

1 : `0 `

2 : `1 `

3 : `-1 `

4 : `+infty `

5 : ` text{autre valeur } `

Réponse

704

`lim_{ x to 1} (lnx-1)/(lnx)`

1 : `0 `

2 : `1 `

3 : `-infty `

4 : `+infty `

5 : ` text{ n'admet pas de limite } `

Réponse

705

`int_0^1 x/(1+e^(-x^2)) dx = `

1 : `sqrt(ln((1+e)/2))`

2 : `ln(sqrt(1+e)) `

3 : `ln(1+e) `

4 : `lnsqrt((1+e)/2)`

5 : `sqrt(ln(e+1))`

Réponse

706

si `f(1)= 4 `

et ` forall x > 0 : f'(x)= 2x+lnx `

alors ` f(e)= `

1 : `e^2`

2 : `e+4 `

3 : `e^2+4`

4 : `e`

5 : `4 `

Réponse Notez

707

dans l’ensemble `C ` si

` z = 1 +i(1+sqrt(2))`

alors

1 : `abs(z)= 2sqrt(2)cos((pi)/8) text{ et } arg(z)=(3pi)/8[2pi] `

2 : `abs(z)= 2sqrt(2)cos((pi)/8) text{ et } arg(z)=(pi)/8[2pi] `

3 : `abs(z)= 2sqrt(2)cos((3pi)/8) text{ et } arg(z)=(3pi)/8[2pi] `

4 : `abs(z)= 2sqrt(2)cos(3(pi)/8) text{ et } arg(z)=(pi)/8[2pi] `

5 : `abs(z)= 2cos((pi)/8) text{ et } arg(z)=(3pi)/8[2pi] `

Réponse

708

si `int_1^2 f'(x)f''(x) dx = 8 `

et `f'(2) -f'(1)= 2 `

alors `f'(2) +f'(1)= `

1 : `4 `

2 : `6 `

3 : `8 `

4 : `10`

5 : `12 `

Réponse Notez

709

soit `q in R ` on pose `S_n = sum_{k=1}^n q^k `

si `lim_{ n to +infty} S_n = 4 ` alors `q = `

1 : `2/3 `

2 : `3/4 `

3 : `4/5 `

4 : `5/6`

5 : `6/7 `

Réponse

710

`int_((pi)/6)^((pi)/3) (sinx)/(cosx+sinx) dx = `

1 : `(pi)/3`

2 : `(pi)/4`

3 : `(pi)/6 `

4 : `(pi)/8`

5 : `(pi)/(12) `

Réponse

711

dans l'ensemble `C` si

`abs(z_1)= abs(z_2)= 1 `

et `abs(z_1+z_2)= sqrt(3) `

alors `abs(z_1 -z_2)= `

1 : `1 `

2 : `3 `

3 : `sqrt(3) `

4 : `2 `

5 : `sqrt(2) `

Réponse

712

`u_n ` la suite définie par

`u_0= 0 ` et `u_1 = 1 `

et ` forall n in N : u_n = sqrt((u_(n+1)^2+u_(n-1)^2)/2)`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

1 : `0 `

2 : `+infty `

3 : ` 1 `

4 : `sqrt(2) `

5 : `(sqrt(2))/2 `

Réponse

713

soit `(a,b) in R^2 ` et `f` la fonction définie par

`f(x)= ax +b text{ si } x <= 0 `

`f(x)=1/(1+x) text{ si } x > 0 `

la fonction `f` est dérivable en `0` si et seulement si

1 : `a=1 text{ et } b = 1 `

2 : `a= -1 text{ et } b = 1 `

3 : `a=2 text{ et } b = 1 `

4 : `a=-1 text{ et } b = -1 `

5 : `a=-1 text{ et } b = 0 `

Réponse Notez

714

soit `(a,b) in R^2 ` et `f` la fonction définie sur `R` par `f(x)= 3x^2 +2ax+b `

si `int_(-1)^1 f(x) dx < 2 ` alors le nombre de solutions dans `R` de l'équation `f(x)= 0 ` est

1 : `0`

2 : `1 `

3 : `2 `

4 : `3 `

5 : `4 `

Réponse

715

le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct `(O,vec(u) ,vec(v))` et `alpha in ]0,(pi)/2[`

soit `z_1` et `z_2 ` les solutions complexes de l'équation `(E) : z^2 -sin(2alpha)z+sin^2alpha = 0 `

la valeur de `alpha` pour laquelle les points `O , M(z_1) , M(z_2)` sont les sommets d'un triangle équilatéral est :

1 : `(pi)/3`

2 : `(pi)/4 `

3 : `(pi)/5`

4 : `(pi)/6 `

5 : `(pi)/8 `

Réponse

716

pour tout entier naturel `n` et pour tout ` x in R ` on pose `f_n(x)= e^(-x) -nx `

1 : `forall n in N^(ast) , exists ! a_n in ]0,1[ : f_n(a_n)= 0 ` et `lim_{ n to +infty} na_n = 1`

2 : `forall n in N^(ast) , exists ! a_n in ]0,1[ : f_n(a_n)= 0 ` et `lim_{ n to +infty} na_n = 0`

3 : `forall n in N^(ast) , exists ! a_n in ]0,1[ : f_n(a_n)= 0 ` et `lim_{ n to +infty} na_n = e`

4 : `forall n in N^(ast) , exists ! a_n in ]-1,0[ : f_n(a_n)= 0 ` et `lim_{ n to +infty} na_n = 1`

5 : `forall n in N^(ast) , exists ! a_n in ]-1,0[ : f_n(a_n)= 0 ` et `lim_{ n to +infty} na_n = 1`

Réponse Notez

717

`lim_{ n to +infty} ((-1)^n +sin(n^2))/n^2 `

1 : `0`

2 : `+infty`

3 : `1`

4 : `text{ n'admet pas de limite } `

Réponse Notez

718

On considère le nombre complexe : `Z= ((1-i)^(10))/(1+isqrt(3))^4`

1 : `abs(z)=2`

2 : `abs(z)=1/2`

3 : `arg(z)=(pi)/6[2pi] `

4 : `arg(z)= -(pi)/6 [2pi] `

Réponse

719

1 : `lim_{ x to 0} (1-cosx)/(sinx) = 0 `

2 : `lim_{ x to +infty} (0.9999)^x= +infty `

3 : `lim_{ x to 0 } (ln(1+x))/(sin(2x))= 1 `

4 : `lim_{ x to +infty} (ln(1+x))/(sqrt(x)) = 0 `

Réponse

720

1 : `int_0^((pi)/4) cos(2x)dx = 1/2 `

2 : `int_0^((pi)/2) sin^2x dx <= (pi)/2 `

3 : `int_(-1)^1 x^2(e^(2x) -e^(-2x)) dx =e^2 `

4 : `int_1^e(lnx)/(sqrt(x)) dx= 4-2sqrt(e) `

Réponse

721

soit ` x in R `

si ` abs(e^(ix) -1)= 1 `

alors `abs(e^(ix)+1)= `

1 : `1`

2 : `sqrt(3) `

3 : `sqrt(2) `

4 : ` 2 `

Réponse Notez

722

`lim_{ x to 0} x sin(1/x) `

1 : `1`

2 : `0 `

3 : `+infty `

4 : ` text{n'admet pas de limite } `

Réponse Notez

732

`lim_{ x to 0} (sqrt(1+sinx) -sqrt(1-sinx))/( ln(1+x)) `

1 : ` 1/(2e) `

2 : `1/e `

3 : `1`

4 : `e `

5 : `2e`

Réponse Notez

755

Si `f` est solution de l'équation différentielle `y'' +2y' +4y = 0 `

alors la fonction `g = 2f` est solution de l'équation différentielle

1 : `y'' +2y' +4y = 0`

2 : `y'' +y' +y = 0`

3 : `y'' +4y' +4y = 0`

4 : `2y'' +4y' +y = 0`

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse Notez

763

Soit ` x in R^(ast , +) `

Si `lim_{ n to +infty} (1 +x/(7n))^(29n)= 2022` alors `x = `

1 : `(29)/7ln22`

2 : `2022ln(7/(29))`

3 : `2022ln((29)/7)`

4 : `7/(29)ln(2022)`

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse Notez

765

Soit `f` la fonction définie sur `R` par `f(x)= 2e^(3x) -6 `

la primitive `F` de la fonction `f` , dont la courbe représentative coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée `3` est définie par

1 : `2/3e^(3x) -6x -2/3 `

2 : `2/3e^(3x) -6x +7/3 `

3 : `2/3e^(3x) -6x -7/3 `

4 : `2/3e^(3x) -6x +2/3 `

Réponse

767

`int_0^3 (x^2+2)/(sqrt(x^3+6x+4)) dx =`

1 : `1/3 `

2 : `8/3 `

3 : `(10)/3 `

4 : `(14)/3 `

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

769

Soit `f : R->R` dérivable sur `R` telle que `f(2x-1)= x^2+3x` alors ` f(1) + f'(1)= `

1 : `5/2`

2 : `4`

3 : `9/2`

4 : `(13)/2`

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

770

Soit `f : R->R` telle que `f(2x-1)= x^2+3x` alors

` lim_{ n to +infty} [f(0) + f(1) +f(2) +.... f(n)]/n^3 = `

1 : `+infty`

2 : ` 1/(6)`

3 : `1/(12)`

4 : `1/(24)`

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

771

Pour tout `n in N` on pose `I_n = int_1^e x(lnx)^ndx`

alors `forall n in N^(ast) : 2I_(n+1) +(n+1)I_n = `

1 : `e^2 `

2 : `e `

3 : `1 `

4 : `(e-1)/2 `

5 : `(e+1)/2 `

Réponse

772

Soit `f : R->R` telle que

`f(x)=sum_{ i =0}^n x^i = 1+x+x^2+.....x^n `

l'équation de la tangente à la courbe `C_f` eu point d'abscisse ` 1 `

1 : `y = (n(n+1))/2x - ((n-2)(n+1))/2`

2 : `y = (n(n-1))/2x - ((n-2)(n+1))/2`

3 : `y = (n(n+1))/2x + ((n-2)(n+1))/2`

4 : `y = (n(n-1))/2x - (n^2-1)/2`

5 : `y = (n(n+1))/2x + (n^2-1)/2`

Réponse

775

Choisir la bonne réponse

1 : `lim_{ x to +infty} -x^2 + x+ 4cosx = +infty `

2 : `lim_{ x to -infty} x/(sin(-x)) = -1 `

3 : `lim_{ x to 0 } x/(sin(-x)) = text{ n'existe pas } `

4 : `lim_{ x to -infty } -x^2 + x+ 4cosx = +infty `

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

785

soit `f` la fonction définie par `f(x)= (e^(sinpix) -1)/(x-1) text{ si }
x ne 1 `

`f(1)=a `

alors `f` est continue en `1` si et seulement si `a`

1 : `-1`

2 : `1 `

3 : `pi `

4 : `-pi `

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

788

On considère la fonction `f :x->1/x`

1 : `x-> ln(ex)` est une primitive de `f` sur `]0,+infty[`

2 : `x-> e+ ln(x)` est une primitive de `f` sur `]0,+infty[`

3 : `x-> e-ln(1/x)` est une primitive de `f` sur `]0,+infty[`

4 : `x-> ln(x)` est une primitive de `f` sur `]0,+infty[`

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

790

l intégrale `I=int_((pi)/6)^((pi)/4) 1/(sinxtanx) dx = `

1 : `1/2-(sqrt(2))/2 `

2 : `2-sqrt(2) `

3 : `sqrt(2)-2 `

4 : `1/2-(sqrt(2))/2 `

5 : `1-sqrt(2) `

Réponse

688

une urne contient :

- `2` boules rouges numérotées : `1-1`

- `3` boules blanches numérotées ` 2-2-1`

- `4` boules noires numérotées ` 2-2-1-1 `

On tire `3` boules simultanément

On considère les événements :

` X : text{ les trois boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux }`

` Y : text{ les trois boules tirées portent le meme chiffre }`

` Z : text{ parmi les trois boules tirées on trouve au moins une boule blanche }`

1 : ` P(X)=1/6 `

2 : `P(Y)=2/7 `

3 : `P(Z)=(16)/(21)`

4 : `P(X cap Y)= 5/(21) `

5 : `P( X cap Y)= (16)/(21) `

Réponse

689

On considère une expérience aléatoire ayant 4 issues possibles notées `omega_1 , omega_2, omega_3, omega_4 ` de probabilités respectives `p_1, p_2, p_3 , p_4 `

on suppose que `p_1, p_2, p_3 , p_4 ` constituent dans cet ordre les termes d'une suite arithmétique de raison ` r =1/9 `

1 : ` p_4= 5/(12) `

2 : `p_3=1/6 `

3 : `p_2=1/3`

4 : `p_1= 1/(12) `

Réponse Notez

690

une urne contient 6 boules numérotées de `1` à `6` indiscernables au toucher on note `p({k}) ` la probabilité d'obtenir la boule de numéro `k`

on donne `p(1)=p(3)=p(5)= a ` et `p(2)=p(4)= p(6)= b `

On considère l’événement : `A : text{ tirer une boule portant un numéro supérieur ou égal à 4 } `

et `P( {A})= 5/(12) `

1 : ` a= 1/(12) , b=1/4 `

2 : `a=1/4 , b =1/(12) `

3 : `a =1/2 , b=1/(12) `

4 : `a=7/(12) , b = 5/(12) `

Réponse

691

On jette un dé 3 fois de suite

`X : text{ nombre de fois d'apparition du nombre 6 } `

alors les paramètres `n ` et `p` de `X` sont

1 : ` n=3 , p=1/2 `

2 : `n=6 , p =1/2 `

3 : `n=3 , p= 1/3 `

4 : `n=3 , p=1/6 `

Réponse

692

On jette un dé 3 fois de suite

`X : text{ nombre de fois d'apparition du nombre 6 } `

1 : ` P(X=2)= 3/8 `

2 : `p(X=2)= 5/(72) `

3 : `p(X=3)=5/(24) `

4 : `p(X=3)=1/(216) `

Réponse

693

dans un espace probabilisé on considères les événements `A, B , C `

- `A` et `C` sont indépendants

-`p(A)= 0.4` , `P(B)= 0.3 ` , `p(A cup B)= 0.8 ` , `p( A cap C) = 0.2 `

1 : ` p(A cap B)= 0.1 `

2 : `p(C)= 0.25 `

3 : `p( A cup C)= 0.7 `

4 : `p( B text{/} A)= 0.5 `

Réponse

695

`lim_{ n to +infty} sum_{k= 0}^(2n+1) n/(n^2+k) `

1 : ` 0 `

2 : `1 `

3 : `2`

4 : `k `

Réponse Notez

764

Dans l'espace on considère le plan d'équation `3x-2z+3= 0 `

On dispose d'un dé régulier dont les faces sont numérotées de `1`à `6`

on lance le dé on obtient de manière équiprobable un nombre ` a : 1 <= a < = 6 `

la probabilité que le point `A(a^2, 2a
, 6a -3) in P ` est

1 : ` 1/6 `

2 : `1/3 `

3 : `1/2 `

4 : `2/3 `

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

681

On considère la fonction `f` définie sur `R^(ast) ` par `f(x)= 1/x^3e^(-1/x^2) `

alors `f'(x)= `

1 : `1/x^3f(x) `

2 : `(3x^2-2)/x^3f(x) `

3 : `-1/x^3f(x) `

4 : `(-3x^2+2)/x^3 f(x) `

Réponse Notez

682

On considère la fonction `f` définie sur `R^(ast) ` par `f(x)= 1/x^3e^(-1/x^2) `

alors `int_1^2 f(x) dx = `

1 : `( e^(-1/4) +e^(-1))/2`

2 : `e^(-1/4)/2 `

3 : `1/(2e) `

4 : `( e^(-1/4) -e^(-1))/2`

Réponse Notez

683

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j) , vec(k))` on considère le plan `(P) : x+y -z +1= 0 ` et le point `A(1, 0, -1) `

Déterminer les coordonnées du point `H` projeté orthogonal de `A` sur `(P) `

Réponse

684

une urne contient :

- 2 boules rouges

- 3 boules noires

On jette un dé cubique dont les faces sont numérotées de ` 1` à ` 6 `

- si le dé désigne un chiffre inférieur ou égale à 4 on tire de l'urne deux boules successivement et sans remise

- si il désigne un chiffre supérieur strictement à 4 on tire de l'urne de boules successivement avec remise

Calculer la probabilité `p_1` pour les deux boules tirées soient de couleurs différentes

Réponse

685

une urne contient :

- 2 boules rouges

- 3 boules noires

On jette un dé cubique dont les faces sont numérotées de ` 1` à ` 6 `

- si le dé désigne un chiffre inférieur ou égale à 4 on tire de l'urne deux boules successivement et sans remise

- si il désigne un chiffre supérieur strictement à 4 on tire de l'urne de boules successivement avec remise

Sachant que les deux boules tirées sont de couleurs différentes calculer la probabilité `p_2`

pourque le dé ait désigné un chiffre supérieur à ` 4 `

Réponse

686

Combien de mot ( ayant un sen en Français ou non ) peut on former à partir les lettres du mot ` text{ "docteur" ]`

1 : ` 6 `

2 : `120`

3 : `216`

4 : ` 342`

5 : `5040`

Réponse

687

On dispose de deux urnes `u_1 , u_2 `

`u_1 ` contient `5` boules numérotées de ` 1` à `5 `

`u_2 ` contient `5` boules numérotées de ` 1` à `5 `

On tire simultanément `2 ` boules de l'urne `u_1 ` et ` 1 ` boules de l'urne `u_2 `

la probabilité de trier deux nombres impairs et un nombre pair est :

1 : ` 0,48 `

2 : `0,12`

3 : `0,36`

4 : `0,33`

5 :

Réponse

758

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j) , vec(k))` on considère les points `A(1,2,3)` et `B(2,0,1)`

l'ensemble des points équidistants des points `A` et `B` est

1 : le plan `x+y+z= 6 `

2 : le plan `2x-4y -4z = -9 `

3 : le plan `2x-4y -4z = 9 `

4 : $$\begin{cases} x+y+z= 6 \\\\ 2x-4y -4z = -9 \end{cases} $$

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

787

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j) , vec(k))` on considère la droite `(d)` passant par `A(2, -1, 1)` et de vecteur directeur `vec(u)(1, 2, -5)` alors

1 : `B(0, -2, 1) in (d) `

2 : `B(0, 1, -2) in (d) `

3 : `B(3, 1, -4) in (d) `

4 : `B(1, -3, 6) in (d) `

5 : `text{ autre réponse } `

Réponse

656

On considère la fonction `h` définie sur `R` par `h(x)= ln(e^(2x) +1) `

alors la fonction `h`

1 : est la composée de deux fonctions strictement croissantes

2 : l'axe des abscisses est asymptote à `C_h` en `-infty `

3 : la droite ` y = 2x ` est asymptote de `C_h` en `-infty `

4 : la courbe `C_h` est au dessous de l'axe des abscisses

Réponse Notez

657

On considère la fonction `f ` définie par $$ f(x)= \begin{cases} \frac{x^2-6x-7}{2x+4} \text{ si } x <= 7 \\ (x-a)^2 -4 \text{ si } x > 7 \end{cases} $$

Déterminer la valeur de `a > 7 ` pour que `f` soit continue à droite en `7`

Réponse

658

On considère la fonction `f ` définie par $$ f(x)= \begin{cases} \frac{x^2-6x-7}{2x+4} \text{ si } x <= 7 \\ (x-a)^2 -4 \text{ si } x > 7 \end{cases} $$

On donne pour tout ` x<= 7 `

`f'(x)= (2x^2+8x-10)/(4(x+2)^2)`

Ecrire vraie ou faux pour chacune des propositions

1 : la fonction est croissante sur `]-infty , 5 ] `

2 : la courbe `C_f` admet la droite `y =x/2-4 ` comme asymptote

3 : la fonction `f` est décroissante sur `[7,9]`

Réponse Notez

659

Réponse Notez

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On considère la fonction `f` définie par `f(x)= x-(lnx)^2/x ` `=> f'(x)= `

On considère la suite `(v_n)` définie par `v_n = underbrace{0,6666666}_{ 6 est n fois } ` Alors `lim_{ n to +infty} v_n = `

`u_n = (sinn + (-1)^n )/(ln(1+n))` alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

On pose `u_n = (2^n +n^2)/(n^2e^n+1)` alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

On pose `u_n = n -sqrt(n^2-n)` alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

On pose `u_n = sqrt(n^2-an+2) +sqrt(n^2+bn+1) -2n` alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

Soit `(v_n)_(n>=1)` une suite telle que `v_1+v_2+...+v_n =2n^2+n` alors `v_8 = `

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 in ]0,1[ ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f(u_n)` avec ` forall x in [0,1]` : ` f(x) = (sqrt(x))/(sqrt(x) +sqrt(1-x))` alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0= 1` et `forall n in N : u_(n+1)= u_n +n `

Pour tout ` n>= 1` On pose `u_n= 1/2 +1/2^2+....+1/2^n ` et `ln(v_n) = u_nln2 `

On considère la suite `(u_n)` définie par `forall n in N : u_n= ln(1+n*e^(-n)) ` alors

Donne une forme trigonométrique du complexe `z= 1+sqrt(2) +i `

`z= (1+isqrt(3))^(2007) = `

On pose `z= (sqrt(2) -sqrt(3))e^((pi)/4i) ` alors

Dans `C` l'ensemble des solutions de l'équation `(2z-1)/(z+1)= z ` est

si `z= e^(-ia) -e^(ia) ` avec `a in ]0,pi[` alors `abs(z)=`

Dans l'ensemble des complexes si `arg(iz)= (7pi)/6[2pi]` et `abs(z)=sqrt(2)` alors `z^3 = `

Dans l'ensemble des complexes si ` abs(z) -z = 3-isqrt(3) ` alors `abs(z)= `

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct on considère les points `A(-i)` et `B(i)` l'ensemble des points `M(z)` tel que ` abs((iz-1)/(bar(z)+i)) = 1 `

Soit `z` un complexe tel que `arg(z)= (pi)/8` et `abs(z)=4cos((pi)/8)` alors

Choisir la bonne réponse

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct l'ensemble des points `M(z)` : `abs(z)= abs(z-1)= 2 ` est

`lim_{ n to +infty} ((n-1)/(n+1))^(n^2) `

$$ lim_{ x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+8} -2}{x} = $$

Soit `(v_n)_(n >= 1) ` une suite telle que : `v_1+v_2+....v_n = 2n^2+n ` alors `v_8 = `

`lim_{ x to -infty} e^xln(1+e^(-x)) = `

on pose `f(x)= e^xln(1+e^(-x)) ` alors ` f(x) `

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On considère la fonction `f` définie par `f(x)= x-(lnx)^2/x `

`=> f'(x)= `

On considère la suite `(v_n)` définie par `v_n = underbrace{0,6666666}_{ 6 est n fois } `

Alors `lim_{ n to +infty} v_n = `

`u_n = (sinn + (-1)^n )/(ln(1+n))`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

On pose `u_n = (2^n +n^2)/(n^2e^n+1)`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

On pose `u_n = n -sqrt(n^2-n)`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

On pose `u_n = sqrt(n^2-an+2) +sqrt(n^2+bn+1) -2n`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

Soit `(v_n)_(n>=1)` une suite telle que `v_1+v_2+...+v_n =2n^2+n` alors

`v_8 = `

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 in ]0,1[ ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f(u_n)`

avec ` forall x in [0,1]` : ` f(x) = (sqrt(x))/(sqrt(x) +sqrt(1-x))`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = `

Pour tout ` n>= 1`

On pose `u_n= 1/2 +1/2^2+....+1/2^n ` et `ln(v_n) = u_nln2 `

On pose `z= (sqrt(2) -sqrt(3))e^((pi)/4i) `

alors

si `z= e^(-ia) -e^(ia) ` avec `a in
]0,pi[` alors `abs(z)=`

Dans l'ensemble des complexes si

`arg(iz)= (7pi)/6[2pi]` et `abs(z)=sqrt(2)`

alors `z^3 = `

Dans l'ensemble des complexes si

` abs(z) -z = 3-isqrt(3) `

alors `abs(z)= `

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct on considère les points `A(-i)` et `B(i)`

l'ensemble des points `M(z)` tel que ` abs((iz-1)/(bar(z)+i)) = 1 `

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

l'ensemble des points `M(z)` : `abs(z)= abs(z-1)= 2 ` est

Soit `(v_n)_(n >= 1) ` une suite telle que :

`v_1+v_2+....v_n = 2n^2+n `

alors `v_8 = `

on pose `f(x)= e^xln(1+e^(-x)) `

alors ` f(x) `