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Derniers exercices .....


525

Calculer la somme :

` S_n = 3 +33 +333 +.............+33333...33_{ 3 : n fois } `


Réponse

523

Des formules utiles

1) `sum_{k=0}^n k= ``1+2+3+.....n = {n(n+1)}/2`

2) `sum_{k=0}^n k^2= ` `1^2+2^2+3^2+.....n^2 = {n(n+1)(2n+1)}/6`


3) `sum_{k=0}^n k^3= ``1^3+2^3+3^3+.....n^2 = ({n(n+1)}/2)^2`

4) `sum_{k=0}^n k(k+1) = 1*2 +2*3 +....= {n(n+1)(n+2)}/3 `

5) `sum_{k=1}^n 1/{k(k+1)}=1/2+1/{2*3}+...= n/{n+1} `

6) `sum_{k=1}^n C_{n}^k= C_{n}^0+ C_{n}^1+..+C_{n}^n= 2^n`


220

l équation `e^x -lnx = 0 `

(une réponse est juste)


1 : admet une solution unique sur `]-2,+infty[`
2 : admet au moins une solution dans `]-infty,+infty[`
3 : admet une solution unique sur `]0,+infty[`
4 : admet deux solutions dans `]-2,+infty[`
5 : n' pas de solution dans `[0,+infty[ `
Réponse

522

On considère la fonction `f` définie par
`f(x)= (1+1/x)^x`

alors `D_f= `


1 : `R^(ast)`
2 : `]0,+infty[`
3 : `]-infty, -1[ cup ]0,+infty[`
4 : `]-infty, -1] cup ]0,+infty[`
5 : `]-infty, -1] `
Réponse

407

On pose `S_n = sum_{ k=1}^n 1/{sqrt(k)}`

alors `lim_{ n to +infty} S_n = `


1 : 2
2 : e
3 : 0
4 : `+infty`
5 : `1`
Réponse

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