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D��rivation et ��tude des fonctions :

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les fonctions primitives

Primitive d'une fonction sur un intervalle

Définition



soit `f` et `F` deux fonctions définies sur un intervalle `I` de `R`

On dit que la fonction `F` est une primitive de `f` sur `I ` si :

1 `F` est dérivable sur `I`

2 ` forall x in I : F'(x)= f(x)`



Exemple


On considère les fonctions `f` et `F` définies sur l intervalle `I=]0,+infty[` par :

`f(x)= 1+1/(sqrt(x)) -1/x^2` et `F(x) = x+ 2sqrt(x) +1/x `

Montrons que `F` est une primitive de `f`


on a `x->2sqrt(x) ; x->1/x ; x-> x ` sont dérivables sur `I `



et on a pour `x in I ` : `F'(x)= (x+ 2sqrt(x) +1/x )' = 1+ 2/(2sqrt(x)) -1/x^2`

` = 1+ 1/(sqrt(x)) -1/x^2 `

` = f(x)`



et par suite `F` est une primitive de `f` sur `I`


Proposition


Toute fonction continue sur un intervalle `I` admet une primitive définie sur cet intervalle



Primitives d'une fonction continue

Proposition



Soit `f` une fonction continue sur un intervalle `I` de `R`

1 si `F` est une primitive de `f` sur `I` alors les primitives de `f` sur `I` sont les fonctions `x->F(x) +c ` ou `c` est une constante réelle.

2 pour tout `x_0 in I ` et `y_0 in R ` , il existe une unique primitive `G` de `f` sur `I` .vérifiant ` G(x_0) =y_0`




Exemple



On considère la fonction `f` définie sur l intervalle `I=]0,+infty[` par `f(x)=1+ 1/(sqrt(x)) -1/x^2 `

Déterminons la primitive `G` de `f` qui s'annule en `1`

On a déjà montré que la fonction `F` définie sur `I` par `F(x)= x+ 2sqrt(x) +1/x ` est une primitive de `f` sur `I`

alors les primitives de `f` sur `I` sont les fonctions `x-> x+ 2sqrt(x) +1/x +c ` avec `c` est une constante réelle .

Soit `G` la primitive de `f` qui s'annule en `1` on a donc `G(x)=x+2sqrt(x) +1/x +c` et `G(1)= 0 `

`<=> 2sqrt(1) +1/1+ 1 + c = 0 `

`<=> 4 + c = 0 `

` <=> c = -4 `

alors




Opérations sur les primitives

Proposition



Si `F, G ` sont respectivement des primitives des fonctions `f,g` sur un intervalle `I` alors :

1 `F+G` est une primitive de la fonction `f+g` sur `I`

2 Pour tout `(alpha,beta) in R^2 : alphaF+betaG` est une primitive de `alphaf+betag ` sur `I`




Primitives usuellee


$$ \text{Tableau des primitives usuelles } $$
$$ \text{ la fonction f } $$ $$ \text{ la primitive F de f } $$ $$ \text{ Intervalle I } $$
`x->0 ``x->c ; c in R ` `R`
`x->a ; a in R^(ast) ``x-> ax+c ` `R`
`x->x^n ; n in N^(ast) ``x-> x^(n+1)/(n+1) +c ` `R`
`x->1/x^n; n in {N^(ast) -1 } ``x->1/((n-1)x^(n-1)) +c ` `R^(+,ast) text{ ou} R^(-,ast)`
`x->x^r; r in {Q^(ast) -1 } ``x-> x^(r+1)/(r+1) +c ` `R^(+,ast)`
`x->cosx ``x->sinx+c ` `R`
`x->sinx ``x->-cosx+c ` `R`
`x->1+tan^2x= 1/(cos^2x) ``x-> tanx +c ` `](-pi)/2 +kpi; (pi)/2+kpi[ ; k in Z `
`x->sin(ax+b) ; (a,b)in R^2 ``x->-1/acos(ax+b)+c ` `R`
`x->cos(ax+b); (a,b) in R^2 ``x->1/asin(ax+b) +c ` `R`
$$ x\to\sqrt[n]{x} ; n \in N^{\ast}$$$$ x \to
\frac{n}{n+1}\sqrt[n+1]{x^{n+1}} +c ; c \in R $$
`R^+`
`u'v+v'u ``uv+c ` l' intervalle ou `u` et `v` sont dérivables
`-(u')/u^2``1/u+c ` l' intervalle ou `u` est dérivable et ne s'annule pas
`u'u^r ; ( r in Q^(ast)-1}`` u^(r+1)/(r+1) +c ` l' intervalle ou u est dérivable et `u^r` est définie
`(u')/(2sqrt(u))`` sqrt(u)+c ` l' intervalle ou `u` est dérivable et strictement positive
`(u'v-v'u)/v^2``u/v+c ` l' intervalle ou `u` et `v` sont dérivables et `v` ne s'annule pas





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