Exercice
soit `f` la fonction définie sur `R` par `f(x)= abs(2x+5) -abs(2x-5)`
1) Montrer que `f` est impaire
2) Calculer `f(1/3)` , `f(-1/3)`
3) Ecrire la fonction `f` sans valeur absolue dans les deux cas suivants
a) pour ` x >= 5/2`
b) pour ` 0 <= x <= 5/2`
4) Tracer la courbe `C_f` dans un repère orthonormé `( O , vec(i),vec(j))`
1) Montrer que `f` est impaire
2) Calculer `f(1/3)` , `f(-1/3)`
3) Ecrire la fonction `f` sans valeur absolue dans les deux cas suivants
a) pour ` x >= 5/2`
b) pour ` 0 <= x <= 5/2`
4) Tracer la courbe `C_f` dans un repère orthonormé `( O , vec(i),vec(j))`
5 réponses
1) Montrons que `f` est impaire
on a `D_f =R`
on a si `x in R <=> -x in R`
donc `x in D_f <=> -x in D_f`
soit `x in D_f `
on a `f(-x) =abs(2(-x)+5) -abs(2(-x)-5) `
`=abs(-2x+5) -abs(-2x-5) `
`=abs(-(2x-5)) -abs(-(2x+5)) `
`=abs(2x-5) -abs(2x+5) `
`= -(abs(2x+5)- abs(2x-5) )`
`=-f(x)`
alors la fonction `f ` est impaire
Avez vous une question
2) Calculer `f(1/3)` , `f(-1/3)`
on a `f(1/3) =abs(2xx1/3 +5) -abs(2xx1/3-5)`
`= abs(2/3 +5) -abs(2/3-5)`
`= abs(2/3 +15/3) -abs(2/3-15/3)`
`= abs((17)/3) -abs(-(13)/3)`
`= {17}/3 - {13}/3 = {17-13}/3=4/3`
or la fonction est impaire donc `f(-1/3)= -f(1/3) =-4/3`
Avez vous une question
3) Ecrire la fonction `f` sans valeur absolue pour ` x >= 5/2`
a) pour ` x >= 5/2`
`=> 2x >= 5 `
`=> 2x +5 >= 5 > 0 ` et `2x-5 >= 0 `
`=> abs(2x+5) -abs(2x-5) = (2x+5) -(2x-5) = 10 `
Avez vous une question
3) Ecrire la fonction `f` sans valeur absolue pour `0 <= x <= 5/2 `
si ` 0 <= x <= 5/2 `
` => 0 <= 2x <= 5 `
`=> 2x -5 <= 0 `
`=>abs(2x-5) = -(2x-5)`
si `0 <= x <= 5/2 `
` 0 <= 2x <= 5 => `
` 5<= 2x +5 <= 10 `
`=> abs(2x+5) = 2x+5`
alors `f(x) = 2x+5 -(2x-5) = 2x+5 - (-(2x -5)) =2x+5+2x -5 =4x `
alors si `0 <= x <= 5/2 ` donc `f(x)= 4x`
Méthode 2 : Tableau de signe :
On a `2x+5 >= 0 <=> 2x >= -5 <=> x >= -5/2 `
on a `2x-5 >= 0 <=> 2x >= 5 <=> x >= 5/2 `
Ainsi le tableau de signe :
Avez vous une question
4) Tracer la courbe de la fonction dans un repère orthonormé
la courbe sur `[5/2, +infty[`
On a pour tout ` x >= 5/2 : f(x)= 10 ` alors `C_f ` est une demi-droite d'équation ` y = 10 `
la courbe sur `[0, 5/2]`
on a pour tout ` x in [0,5/2] : f(x)= 4x ` alors `C_f ` est segement d'équation `y = 4x `
Puisque `f` est impaire alors `C_f` sur l intervalle `]-infty , -5/2]` est le symétrique par rapport à l'origine de la demi-droite d'équation ` y = 10 `
sur l intervalle `[-5/2, 0]` `C_f` est le symétrique par rapport à l'origine du repère du segement d'équation `y = 4x `
Avez vous une question