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Exercice
soit `x in [0,pi/4]` tel que `sinxcosx=2/5`

1) Calculer :

a) `sinx+cosx`

b) `cosx-sinx`

2) soit `m in N^(ast) `

Montrer que `cos^{2m}x +sin^{2m}x={4^m+1}/5^m`
2 réponses

Calculons `cosx +sinx`



on a `(cosx+sinx)^2 = cos^2x+sin^2x +2sinxxxcosx= 1+ 2cosxxxsinx`

or `sinxxxcosx= 2/5` alors `2sinxxxcosx= 4/5`

`=> (cosx+sinx)^2 = 1+4/5`

`=> (cosx+sinx)^2 = 9/5`

`=> cosx+sinx = 3/{sqrt(5}` ou ` cosx+sinx =- 3/{sqrt(5}`

or ` x in [0,{pi}/4]` alors ` sinx >=0 ` et `cosx >=0 `

`=> sinx +cosx >=0 `


Avez vous une question

1) b Calculons `cosx-sinx`



on a `(cosx-sinx)^2 = cos^2+sin^2x -2sinxxxcosx= 1-4/5 = 1/5 `

alors `cosx -sinx =1/{sqrt(5)}` ou `cosx -sinx =-1/{sqrt(5)}`

on a `sin({pi}/2-x) = cos(x)`

or `x in [0,{pi}/4]`

` => -{pi}/4 <= -x <= 0`

` => {pi}/2-{pi}/4 <={ pi}/2 -x <= {pi}/2`

` => {pi}/4 <={ pi}/2 -x <= {pi}/2`

` => 0<=x <= {pi}/4 <={ pi}/2 -x <= {pi}/2`

alors ` sin(x) <= sin({ pi}/2 -x)`

`=> sin({ pi}/2 -x) - sinx >= 0 `

`=> cosx- sinx >= 0 `


Avez vous une question
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