soient les fonctions `f` et `g` définies par `g(x)={x-3}/{x-1}` et `f(x)=-x^2+4x-3`

Partie 1
1)
a) déterminer le domaine de définition de `f`

b) déterminer les caractéristiques de `C_f`

c) déterminer le tableau de variation de `f`

2)
a) déterminer le domaine de définition de `g`

b) déterminer les caractéristiques de `C_g`

c) dresser le tableau de variation de `g`

Partie 2
1) montrer que `f(3)=g(3)`

2) déterminer les points d intersection de `C_f` et `C_g`

3) déterminer les points d intersection de `C_f` et `C_g` et les axes du repère

4) construire dans le meme repère les graphes `C_f` et `C_g`

5) résoudre graphiquement l équation `f(x) > = g(x) `

Partie 3

soient `h` et `k` deux fonctions telles que `h(x)=abs(f(x))` et `k(x)=g(abs(x))`

1) écrire `h(x)` sans valeur absolue

2) montrer que `k` est paire

3) déduire la construction de `C_k` et `C_h` a partir de `C_f` et de `C_g`

1)
a) on a `f` est une fonction polynomiale donc `D_f=R=]-infty,+infty[`

b) on a `f(x)=-x^2+4x-3` `= -(x^2-4x+3) ` `= -(x^2-4x + 4 -4+ 3) `
`= -((x-2)^2 -1) `
`= -(x-2)^2 + 1 `
alors `f(x)= -(x-2)^2 +1 `
alors `C_f` est une parabole de centre `Omega(2,1)` et d axe `x=2` et `a=1`

c) on a `f(x)= -(x-2)^2 +1 ` `=> a =-1 < 0 ` alors la fonction est décroissante sur`[ 2,+infty[`
et croissante sur `]-infty,2]`

2)
a) on a `D_g={x in R, x ne 1 } =` `]-infty,1[ cup ]1,+infty[`
b) on a `g(x)={x-3}/{x-1} ` =`a + b/{x-1}` =`{ax -a +b}/{x-1}`
alors `a= 1` et `b-a=-3`
`=> a= 1` et `b=-3+a=-2`
donc
`g(x)= 1 -2/{x-1}` alors `C_f` est un hyperbole des asymptotes `x=1` et `y=1` et de centre `O'(1,1) `

2)
a) on a `D_g={x in R, x ne 1 } =` `]-infty,1[ cup ]1,+infty[`
b) on a `g(x)={x-3}/{x-1} ` =`a + b/{x-1}` =`{ax -a +b}/{x-1}`
alors `a= 1` et `b-a=-3`
`=> a= 1` et `b=-3+a=-2`
donc
`g(x)= 1 -2/{x-1}` alors `C_f` est un hyperbole des asymptotes `x=1` et `y=1` et de centre `O'(1,1) `

Partie 3
a) on a `f(x)=-x^2 + 4x-3`
on a `Delta= 16 -4xx(-3)xx(-1)` =`16-12=4 > 0`
`x_1= {-4-sqrt(4)}/{-2}` `= 3`
`x_1= {-4+sqrt(4)}/{-2}` `= 1`
alors si `x in [1,3]` le signe(-x^2+4x -3) = - signe(-x^2) donc `f(x) >= 0 ` alors `abs(f(x))=f(x) `
alors si `x in ]-infty ,1] cup 3], +infty[` le signe(-x^2+4x -3) = signe(-x^2) donc `f(x) <= 0 ` alors `abs(f(x))=-f(x) `
conclusion
si `x in [1,3]` alors `f(x)=-x^2+4x-3`
si `x in ]-infty ,1] cup 3], +infty[` `f(x)=x^2 -4x +3 `

2)
on s `x in D_k ` alors `-x in D_k`
on a `k(-x)=g(abs(-x))=g(abs(x))=k(x)` donc k est paire

3)
le graphe de `C_h`
on a si ` x in [1,3]` `h(x)=f(x)` donc `C_h=c_f`
on a si ` x in ]-infty,1] cup [3, +infty[ ` `h(x)= -f(x)` donc `c_h` est la symétrie de `c_f` par rapport à l axe `y= 0 `

le graphe de `C_k`
on a `k` est paire on construit le graphe sur `[ 0,+infty[` on a `k(x)=g(x)` donc `C_k=C_g`
sur `]-infty,0]` `C_k` est la symétrie de `C_g` par rapport de l axe `x= 0 `