Session normale 2019

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Exercice 2

soit ` m ` un nombre complexe non réel ` m in C-R` , On considère l équation `E : z^2 -(1+i)(1+m)z+2im= 0` dans le corps des nombres complexes

1) a) Montrer que le discriminant de l'équation est non nul

b) Déterminer `z_1` et `z_2` les solutions de l équation `E`

2) On suppose dans cette question que `m =e^{ieta}` avec `0 < eta < pi`

a) Déterminer le module et l'argument du nombre `z_1 +z_2`

b) Montrer que si `z_1*z_2 in R ` alors `z_1+z_2 =2i`

II) le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé `(o, vec(u) ,vec(v))`
on considère les points `A` d'affixe `a=1+i` , `B`d'affixe `(1+i)m` et `C` d'affixe `1-i` et `D` est l image de `B` par la rotation de centre `O` et d'angle `{pi}/2 `

et `Omega` le milieu du segment `[CD]`

1) a ) Montrer que l'affixe de `Omega` est `omega = {(1-i)(i-m)}/2`

b) Calculer `{b-a}/{omega}`

c) En déduire que que `(AB)` est perpendiculaire à `(OOmega)` et `AB=2OOmega`

2) Soit `H` , d'affixe `h`, le point d’intersection de `(AB)` et `(OOmega)`

a) Montrer que `{h-a}/{b-a}` est un nombre réel et `h/{b-a}` est un nombre imaginaire pur

b) En déduire `h` en fonction de `m`

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Exercice 3

on a suppose que le nombre `(2969)` (l 'année amazighe actuelle ) est un nombre premier , soit `n , m` deux

entiers naturels vérifiant `n^8+m^8= 0 [ 2969]`

1) On suppose dans cette question que `2969` ne divise pas `n`

a) En utilisant le théorème de Bezout montrer que `exists u in Z : u*n = 1 [2969]`

b) E déduire que ` (u*m)^8 = -1 [2969]` et que ` (u*m)^(2968)= 1 [2969]`

(Remarque : 2969 =8*371 )

c) Montrer que `2969` ne divise pas `u*m`

d) En déduire que ` (u*m)^(2968) = 1 [2969]`

2) a) En utilisant les resultas précédents montrer que `2969` divise `n`

b) Montrer que `n^8+m^8 = 0 [2969] <=> n = 0 [2969]` et `m = 0 [2969] `

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Exercice 4)
On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x) =4x(e^(-x) +1/2x-1)` .on note `C` sa courbe dans un repère orthonormé

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x)` et `lim_{ x to -infty} f(x)`

2) a) Montrer que `f` est dérivable sur `R` et que `forall x in R : f'(x)= 4(e^(-x) -1)(1-x)`

b) Etudier les variations de `f` puis donner son tableau des variations

c) Montrer que ` exists ! alpha in ]3/2,2[` tel que `f(alpha)= 0 ` on donne `e^(3/2) =4,5 `

d) Vérifier que `e^(-alpha)= 1-{alpha}/2`

3) a) En appliquant théorème de ROLLE à la fonction `f'(x)` . montrer que ` exists x_0 in ]0,1[ : f''(x_0) = 0 `

b) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction `f''` montrer que pour tout ` x ne x_0 ` de l'intervalle `[0,1]` `{f''(x)}/{x-x_0} > 0 `

c) En déduire que `I(x_0,f(x_0))` est un point d'inflexion de la courbe `C`

4 a) Etudier les branches infinies de `C`

b) Tracer la courbe `C` dans un repère orthonormé

5) a) Vérifier que ` forall x in ]-infty ,alpha] : f(x) <= 0 `

b) Montrer que `int_0^(alpha) f(x) dx = {2alpha(alpha^2-3)}/3`.puis en déduire que `3/2 <= alpha <= sqrt(3)`

c) Calculer en fonction de ` alpha` l aire du domaine délimité par la courbe `C` et les droites ` y= 0 ` ,` x =alpha` et `x= 0 `

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Partie II
On considère la suite `(u_n)` définit par `u_0 < alpha ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f(u_n)+u_n`

1) a) Montrer par récurrence que ` forall n in N : u_n < alpha ` ( utiliser 5 a)

b) Montrer que la suite `u_n` est décroissante

2) On suppose que `0 <= u_0 ` et on pose `g(x)= e^(-x)+1/2x-3/4` pour tout ` x in R `

a) Montrer que ` forall x in R : g(x) > 0 ` on donne `ln(2)= 0,67`

b) Montrer que `forall n >=0 : 0 <=u_n ` ( remarquer que `f(x)+x= 4xg(x)` )

c) Montrer que la suite `u_n` est convergente

d) calculer `lim_{ n to +infty} u_n `

3) On suppose que `u_0 < 0 `

a) Montrer que `forall n in N : u_(n+1) -u_n <= f(u_0) `

b) Montrer que `forall n in N : u_n <= u_0 + nf(u_0)`

c) En déduire `lim_{ n to +infty} u_n `