Calculer la limite suivante :

`lim_{ x to 1 } {x+x^2+.....+ x^n -n }/{(2-x)^n -1}`

Rappels :
1 `: 1+x+x^2 +......x^n = (x^(n+1) -1)/(x-1) ` pour tout ` x ne 1 `

2 `: x^(n+1)-1 = (x-1)(1+x+....x^n) `



on a `lim_{ x to 1 } {x+x^2+.....+ x^n -n }/{(2-x)^n -1}`

`=lim_{ x to 1 } {(x-1)+(x^2-1)+.....+( x^n -1) }/{(2-x-1)((2-x)^{n-1} +(2-x)^{n-2}+...+1)}`

`=lim_{ x to 1 } {(x-1)+(x-1)(x+1)+.....+( x -1)(x^{n-1}+....+1) }/{(1-x)((2-x)^{n-1} +(2-x)^{n-2}+...+1)}`

`=lim_{ x to 1 } {(x-1)[1+(x+1)+.....+(x^{n-1}+....+1)] }/{(1-x)((2-x)^{n-1} +(2-x)^{n-2}+...+1)}`

`=lim_{ x to 1 } -{1+(x+1)+.....+(x^{n-1}+....+1) }/{(2-x)^{n-1} +(2-x)^{n-2}+...+1}`

`= -(1+(1+1)+(1+2)+....+(1+1+1...+1))/(1+1+....+1) `

`= -{1+2+3+.....+n}/{n}`

`=-{n(n+1)}/{2n}=-{n+1}/2`

`=> lim_{ x to 1 } {x+x^2+.....+ x^n -n }/{(2-x)^n -1} = -(n+1)/2 `