Soit `(u_n)` la suite numérique définie par

`u_0 in [0 , 1]`
`(forall n in N ) , u_{n+1} = 2+u_n -sqrt(3+(u_n)^2)`

1) a) Vérifier que pour tout ` n in N ` on a `u_{n+1} = 2- 3/{u_n +sqrt(3+(u_n)^2)}`

b) En déduire que `(forall n inN ) : 0<= u_n <= 1 `

c) Etudier la monotonie de la suite `(u_n)`
2)
a) Montrer que `(forall n in N ) : 0 <= 1-u_{n+1} <= (sqrt(3)-1)(1-u_n)`

b) En déduire que `(forall n in N ) : 0 <= 1-u_n <= (sqrt(3)-1)^n(1-u_0)`

3) On pose `S_n =sum_{k=0}^{n-1} sqrt(3+(u_k)^2)` et `T_n = u_n +S_n`

a) Déterminer la nature de la suite `T_n`

b) Exprimer `S_n` en fonction de `n, u_0 , u_n`