Session de rattrapage 2013

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On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= x^2-x-lnx`

1) a) Vérifier que ` forall x in R : 2x^2-x-1 =(2x+1)(x-1)`

b) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : g'(x)= {2x^2-x-1}/x` , puis en déduire que `g` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`

2) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : g(x) >= 0 ` ( Remarquer que `g(1)= 0 ` )

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On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= x^2-1-(lnx)^2` .

1) a) Montrer que `lim_{ x to 0^+} f(x) = -infty`

b) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty` et `lim_{ x to +infty} {f(x)}/x = +infty ` ( remarquer que `f(x)= x^2(1-1/x^2 -({lnx}/x)^2)`

c) En déduire que `C_f` admet une branche parabolique dont on déterminera sa direction au voisinage de `+infty`

2 a) Montrer que ` forall x > 0 : f'(x)= 2({x^2-lnx}/x)`

b) Vérifier que ` forall x in ]0,+infty[ : {g(x)}/x+1 = {x^2-lnx}/x ` puis en déduire que `f` est croissante sur `]0,+infty[`

3 a) montrer que l'équation cartésienne ` y=2x-2` est l'équation de la droite ` D ` tangente de `C_f` en `A(1,0)`

b) Tracer la courbe `C_f` et la droite `D` on admet que la courbe `C_f` admet `A(1,0)` comme seul point d'inflexion

4 a) Vérifier que `H : x-> x(lnx-1)` est une fonction primitive sur `]0,+infty[` de la fonction `x->lnx` , puis montrer que `int_1^e lnx dx = 1`

b) Par intégration par partie montrer que `int_1^e (lnx)^2dx = e-2 `

c) Montrer que la surface `S` du domaine, délimité par l'axe des abscisses et la courbe `C_f` et les droites ` x= 1 ` et ` x= e ` , est égale ` 1/3(e^3 -6e +8) cm^2`

a) vérifier que `2x^2-x-1 =(2x+1)(x-1)`

on a `(2x+1)(x-1) = 2x^2 -2x +x-1 = 2x^2-x-1`

alors `2x^2-x-1 =(2x+1)(x-1)`

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b) on a la fonction `x->lnx` est dérivable sur `]0,+infty[`

or `x-> x^2-x` est fonction polynomiale donc dérivable sur `R` et notamment sur `]0,+infty[`

alors la fonction `g` est dérivable sur `]0,+infty[`
soit ` x > 0 `

`=> g'(x) =( x^2-x -lnx)'`

`=> g'(x) = 2x-1 -1/x = {2x^2-x-1}/x `

`=> forall x > 0 : g'(x) = {2x^2-x-1}/x `

or `2x^2-x-1= (2x+1)(x-1)`

`=> forall x > 0 : g'(x) = {(2x+1)(x-1)}/x `

or ` x > 0 ` alors `2x+1 > 0 ` donc le signe de `g'(x)` est celui de `x-1`

on a `x-1 >= 0 <=> x >= 1 `

alors ` x in [1,+infty[ => g'(x) >= 0 => g` est croissante

` x in ]0,1] => g'(x) <= 0 => g` est décroissante

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2)
on a `g(1) = 1-1 -ln1 = 0 `

on a ` x in [1,+infty[ => g'(x) >= 0 => g` est croissante `=> g(x) >= g(1) = 0 `

` x in ]0,1] => g'(x) <= 0 => g` est décroissante `=> g(x) >= g(1) = 0 `

alors `forall x > 0 : g(x) >= 0 `

II) 1 ) a) montrons que ` lim_{ x to 0^+} f(x) =-infty `

on a `lim_{ x to 0^+} f(x) =lim_{ x to 0^+} x^2-1 -(lnx)^2 `

on a `lim_{ x to 0^+ } lnx = -infty`

alors `lim_{ x to 0^+ }( lnx )^2 =+infty`

`=> lim_{ x to 0^+} x^2-1 -(lnx)^2 = 0 -1 -(+infty) =-infty `

`=> lim_{ x to 0^+} f(x) =-infty `

alors la droite d équation `x=0 ` est une asymptote verticale de `C_f`

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1 ) b) montrons que ` lim_{ x to +infty} f(x) = +infty `

on a `lim_{ x to +infty} f(x) =lim_{ x to +infty} x^2-1 -(lnx)^2 `

`=lim_{ x to +infty} x^2(1-1/x^2 -((lnx)/x)^2)`

or `lim_{ x to + infty} {lnx}/x = 0 `

`=> lim_{ x to + infty} ({lnx}/x)^2 = 0 `

`=> lim_{ x to +infty} x^2(1-1/x^2 -((lnx)/x)^2) = +infty(1-0 -0) = +infty`

`=> ` ` lim_{ x to +infty} f(x) = +infty `

on a `lim_{ x to +infty} {f(x)}/x =lim_{ x to +infty} {x^2-1 -(lnx)^2}/x `

`=lim_{ x to +infty} x-1/x -{(lnx)^2}/x `

on a `lim_{ x to +infty} {(lnx)^2}/x = lim_{ x to +infty} -((lnx)/{sqrt(x)})^2 `

or `lim_{ x to + infty} {lnx}/{sqrt(x)}`

`= lim_{ x to + infty} {ln(sqrt(x)^2)}/{sqrt(x)}`

`= lim_{ x to + infty} {2ln(sqrt(x))}/{sqrt(x)}`

`= lim_{ t to + infty} {2ln(t)}/{t} = 0 `

alors `lim_{ x to +infty} -((lnx)/{sqrt(x)})^2 = 0 `

`=> lim_{ x to +infty} x-1/x -{(lnx)^2}/x = +infty -0 -0 = +infty `

`=> lim_{ x to + infty} {f(x)}/x = + infty`

alors `C_f` admet une branche parabolique dirigé vers l axe des ordonnées

II) 2) a )

on a la fonction `f` est dérivable sur `]0,+infty[`

et `f'(x) = (x^2-1 -(lnx)^2)'= 2x -2{lnx}/x= {2(x^2-lnx)}/ x`

`=> forall x > 0 : f'(x) = {2(x^2-lnx)}/ x`

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II) 2) b)
soit ` x > 0 `
on a `{g(x)}/x +1= {x^2-x -lnx}/x +1 ={x^2-x -lnx +x }/x = {x^2 -lnx}/x `

alors `{g(x)}/x +1= {x^2 -lnx}/x`

`=> forall x > 0 : f'(x) = 2({g(x)}/x +1)`

or ` forall x > 0 : g(x) >= 0 ` donc `{g(x)}/x >= 0 ` pour `x > 0 `

`=> {g(x)}/x +1 > 0 `

`=> f'(x) > 0 ` alors `f` est croissante sur `]0,+infty[`

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3) on a `f'(x) = 2({x^2-lnx}/x)`

`=> f'(1) = 2 (1-ln1)/1 = 2 `

or `f(1) = 1 - 1 -(ln1)^2 `

or l equation de la tangente en `A(1,0)` et de la forme `y = f'(1)(x-1) +f(1) `

`=> y = 2(x-1) = 2x-2 ` alors l equation de la tangente en `A(1,0)` est ` y =2x-2 `