Bac 2006

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soit ` n in N^*` on considère la fonction `f_n` définie par `f_n(x)= x/n -e^{-nx}`

1) a) Calculer `lim_{ x to + infty} f_n(x)`, `lim_{ x to - infty} f_n(x)`

b) Etudier les branches infinies de `C_{f_n}`

2) Calculer `f'_n(x)` pour tout ` x in R `, puis donner le tableau des variations de `f_n`

3) a ) Montrer que l équation `f_n(x)=0` admet une solution unique `alpha_n`

b) Montrer que `forall n >= 2 : f_n(1/n) < 0 `

c) Montrer que `forall x in R : x+1 <= e^x `, en déduire que `f_n(1) > 0 `

d) Montrer que `forall n >= 2 : 1/n < alpha_n < 1 `

4) Tracer la courbe `C_2` on donne `alpha_2= 0,6 `

5) a) Montrer que `forall n >= 2 : f_{n+1}(alpha_n) = n/{n+1} e^{-nalpha_{n+1}}(e^{alpha_n}-1/n-1)`

b) En déduire que `forall n >= 2 : f_{n+1}(alpha_n) >= 0 `

c) Montrer que `(alpha_n)_n` est décroissante , puis en déduire qu'elle est convergente

6) a) Montrer que `forall n >= 2 : 1/n^2 < e^{-nalpha_n} < 1/n`

b) En déduire que `{lnn}/n < alpha_n < {2lnn}/n`

c) Déterminer `lim_{ n to +infty} alpha_n`