Session normale 2003

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soit al fonction `f` définie par `f(x)= 1-x/2-2/{e^x+1}`

1) a) Vérifier que `1/{e^(-x)+1}= 1-1/{e^x+1}`

b) En déduire que `f` est impaire

c) Calculer `lim_{ x to + infty} f(x) `

2)a ) Calculer `f'(x)` , puis donner le tableau des varitions sur `R^+`

b) En déduire que `forall x >= 0 : 1-2/{e^x+1} <= x/2`

3) Montrer que `lim_{ x to +infty } f(x) -(1-x/2)= 0 ` , puis donner l intérprétation géométrique du résultat

4) Tracer la courbe `C_f` et la droite d’équation `y = 1-x/2`

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Partie II

soit la suite numérique définie par `u_0=1` et `forall n in N : u_{n+1} = 1 - 2/{e^(u_n)+1}`

a) Montrer par recurrenece que `forall n in N : u_n > 0 `

b) Vérifier que `forall n in N : u_{n+1} <= {u_n}/2`

c) En déduire que `(u_n)` est décroissante

d) Montrer que `forall n in N u_n <= (1/2)^n`

c) En déduire la limite `lim_{ n to + infty} u_n `

1) a)
on a `1-1/{e^x+1} = {e^x+1-1}/{e^x+1} = e^x/{e^x+1} = e^x/{e^x(1+e^(-x))}`

`=> 1/{1+e^(-x)}`

alors ` 1/{1+e^(-x)} =1-1/{e^x+1} `

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b) Montrons que `f` est impaire

on a `forall x in R : e^x > 0 ` alors `e^x+1 > 0 `

alors `D_f= R = ]-infty ,+infty[`

donc ` x in D_f => -x in D_f`

soit ` x in D_f ` on a `f(-x) = 1+x/2-2/{e^(-x)+1}`

`= 1+x/2 -2 ( 1-1/{e^x+1})`

`= 1+x/2 -2 +2/{e^x+1}`

`= -1 +x/2 +2/{e^x+1}`

`= -( 1-x/2-2/{e^x+1})`

`= -f(x)`

alors `f` est impaire

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1c) Calcul de `lim_{ x to + infty } f(x) `

on a `lim_{ x to + infty} f(x) = lim_{ x to + infty} 1-x/2 -2/{e^x+1} `

or `lim_{ x to + infty} e^x = +infty `

alors `lim_{ x to + infty } -2/{e^x+1} =-2/{+infty} = 0 `

alors ` lim_{ x to + infty} 1-x/2 -2/{e^x+1} = -infty `

donc `lim_{ x to + infty } f(x) = -infty `

2a)
on a `f` est dérivable sur `R` et `f'(x)= (1-x/2-2/{e^x+1})'`

`= -1/2 +{2e^x}/{(e^x+1)^2}`

`= {-(e^x+1)^2 +4e^x}/{2(e^x+1)^2}`

`= {-e^(2x)-2e^x -1 +4e^x}/{2(e^x+1)^2}`

`= {-e^(2x) -1 +2e^x}/{2(e^x+1)^2}`

`= -{e^(2x) +1 -2e^x}/{2(e^x+1)^2}`

`= - {(e^x-1)^2}/{2(e^x+1)^2}`

or `(e^x-1)^2 >= 0 ` et `(e^x+1)^2 > 0 `

alors `f'(x) <= 0 `

donc la fonction `f` est décroissante sur `R`

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2b )

on a `f(0) = 1 -0 -2/{e^0+1} = 1-1= 0 `

or `f` est décroissante sur `R^+` alors `f(x) <= f(0) `

alors on conclut que `forall x >= 0 : f(x) <= 0 `

`=> 1-x/2-2/{e^x+1} <= 0 `

`=> 1-2/{e^x+1} <= x/2 `

` => forall x >= 0 : 1 -2/{e^x+1} <= x/2 `

3)
on a `lim_{ x to + infty } f(x) -(1-x/2) = lim_{ x to +infty } 1-x/2-2/{e^x+1} -(1-x/2) `

`= lim_{ xto +infty } -2/{e^x+1}`

or `lim_{ x to + infty } e^x =+infty `

alors `lim_{ x to + infty } e^x+1 = +infty`

alors
`lim_{ xto +infty } -2/{e^x+1} = -2/{+infty} = 0 `

donc `lim_{ x to + infty } f(x) -(1-x/2) =0 `

alors la droite ` y = 1-x/2` est une asymptote de `C_f` au voisinage de `+infty`