Bac 1996

---

soit la fonction `g` définie sur `R` par `g(x)= e^x -xe^x-1`

1) a) Calculer `lim_{ x to +infty} g(x)` , `lim_{ x to -infty} g(x)`

b) pour ` x in R ` , calculer `g'(x)`

c) Etudier les variations de `g` , puis étudier son signe sur `R`

---

soit la fonction `f` définie sur `R` par , `f(0)=0` , `forall x ne 0 : f(x)= x/{e^x-1} -1 `

1) Montrer que `f` est continue en `0`

2) Montrer que la droite d’équation `y =-1` est une asymptote horizontale de `C_f` au voisinage de `+infty`

3) a) Calculer `lim_{ x to -infty} f(x)`

b) Montrer que la droite `D` d’équation `y =-x-1` est une asymptote de `C_f` au voisinage de `-infty`

c) Etudier la position de `D` par rapport de `C_f`

4) a) Calculer `f'(x)` pour ` x in R^*`

b) Etudier le signe de `f'(x)` sur ` R^*`

5) Tracer la courbe `C_f`

---

1) a) on a `g(x)= e^x -xe^x-1`

on a `lim_{ x to + infty} g(x) `

`= lim_{ x to + infty} e^x -xe^x-1`

`= lim_{ x to + infty} (1-x)e^x -1`

or `lim_{ x to +infty} e^x =+infty`

et `lim_{ x to +infty } (1-x)= -infty`

`=> lim_{ x to + infty} (1-x)e^x -1 =(-infty)(+infty)=-infty`

`=> lim_{ x to + infty} g(x) = -infty `

---

Calcul de `lim_{ x to - infty} g(x) `

on a `lim_{ x to - infty} g(x) `

`= lim_{ x to + infty} e^x -xe^x-1`

or `lim_{x to -infty} e^(x)= 0 ` et `lim_{x to -infty} xe^(x)= 0 `

`=> lim_{ x to + infty} e^x -xe^x-1 =-1`

`=> lim_{ x to - infty} g(x) = -1 `

---

1-b)
on a `g'(x)= ( e^x -xe^x-1)' =e^x -e^x-xe^x = -xe^x`

---

1-c)
on a `forall x in R :g'(x)= -xe^x`

or `forall x in R : e^x >0 `

alors le signe de `g'(x)` est ce lui de `-x`

alors `g'(x) >=0 <=> - x >= 0<=> x <= 0`

alors `g'(x) >=0 <=> x in ]-infty ,0]` et `g'(x) <=0 <=> x in [0,+infty[`

alors `g` est croissante sur `]-infty ,0]` donc `forall x <= 0 => g(x) <= g(0) = 0`

`g` est décroissante sur `[0,+infty[` donc `forall x >= 0 => g(x) <= g(0) = 0`

alors on conclut `forall x in R :g(x) <= 0 `

1) Montrons que `f` est continue en `0`

on a `lim_{ x to 0 } f(x) = lim_{ x to 0 } x/{e^x-1} -1 `

`= lim_{ x to 0 } 1/{{e^x-1}/x} -1 `

or `lim_{ x to 0} {e^x-1}/x = 1 `

`=> lim_{ x to 0 } 1/{{e^x-1}/x} -1 = 1/1 -1 = 1-1 = 0 = f(0) `

`=> lim_{ x to 0 } f(x) = f(0) `

alors `f` est continue en `0`

---

2) Montrons que la droite `y=-1` est une asymptote horizontale de `C_f` au voisinage de `+infty`
on a `lim_{ x to +infty} f(x) = lim_{ x to +infty } x/{e^x-1} -1 `

`= lim_{ x to 0 } 1/{e^x/x-1/x} -1 `

or `lim_{ x to +infty } e^x/x=+infty` et `lim_{x to +infty} 1/x= 0 `

alors `lim_{ x to +infty} e^x/x-1/x= +infty `

`=> lim_{ x to +infty} 1/{e^x/x-1/x} = 0`

`=> lim_{ x to 0 } 1/{e^x/x-1/x} -1 = 0-1 = -1 `

alors la droite `y=-1` est une asymptote horizontale de `C_f` au voisinage de `+infty`

---

3a) Calcul de `lim_{ x to -infty} f(x)`

on a `lim_{ x to -infty} f(x) = lim_{ x to -infty } x/{e^x-1} -1 `

or `lim_{ x to -infty} e^x = 0`

alors `lim_{ x to -infty} e^x -1 = -1`

`=> lim_{ x to -infty } x/{e^x-1} -1 = +infty - 1 = +infty `

---

3b) Montrons que la droite `D:y=-x-1` est une asumptote de `C_f` au voisinage de `-infty`

on a `lim_{ x to -infty} f(x)= +infty`

et `lim_{ x to -infty} {f(x)}/x =lim_{ x to -infty} 1/{e^x-1} -1/x`

or `lim_{ x to -infty} e^x-1= -1 ` et `lim_{ x to -infty} 1/x= 0`

`=> lim_{ x to -infty} 1/{e^x-1} -1/x = -1 `

`=> lim_{ x to -infty} {f(x)}/x= -1 `

on a `lim_{ x to -infty} f(x)+ x= lim_{ x to -infty} x/(e^x-1) -1+ x `

`= lim_{ x to -infty} {x+xe^x-x}/(e^x-1) -1`

`= lim_{ x to -infty} {xe^x}/(e^x-1) -1`

or `lim_{ x to -infty} xe^x = 0 ` et `lim_{ x to -infty} e^x = 0 `

`=> lim_{ x to -infty} {xe^x}/(e^x-1) -1 = 0/{-1} - 1 = -1`

alors `lim_{ x to -infty} f(x) +x = -1 `

alors la droite `D: y=-x-1` est une asymptote de `C_f` au voisinage de `-infty`
c)
soit ` x in R^xx`

on a ` f(x) -(-x-1) = x/{e^x-1}-1 +x+1`

`= { x+xe^x-x}/{e^x-1}`

`= { xe^x}/{e^x-1} `

on a `e^x -1 >= 0 <=> e^x >=e^0 <=> x >= 0`

alors si ` x>=0 => e^x- 1 >=0 ` et ` x >= 0 ` donc `{ xe^x}/{e^x-1} >= 0`

alors si ` x <=0 => e^x- 1 <=0 ` donc `{ x}/{e^x-1} >= 0` alors `{ xe^x}/{e^x-1} >= 0`

on conclut que `forall x in R^xx : f(x)- (-x-1) >= 0` alors `C_f` est en dessus de `D`