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Exercice
1) Montrer que les nombres ` {61pi}/6 , {-47pi}/6 , {25pi}/6` représentent l'abscisses curvilignes du meme point

2)
a) Vérifier que `(cosx-sinx)^2+(sinx+cosx)^2= 2 `

b) Calculer `cosx` et `sinx` sachant que `cosx-sinx= sqrt(2) `

3) Montrer que pour tout réel `x` `tan^2x-sin^2x= tan^2x*sin^2x`

4) Simplifier :

a) `A= cos({pi}/7)+ cos({2pi}/7) + cos({8pi}/7) + cos({9pi}/7)`

b) `B= sin^2({pi}/8)+ sin^2({3pi}/8)+ sin^2({5pi}/8) + sin^2({7pi}/8)`
5 réponses

1) Montrer que les nombres ` {61pi}/6 , {-47pi}/6 , {25pi}/6` représentent l'abscisses curvilignes de même point



on a `{25pi}/6 = {(24 +1)pi}/6 = (24pi)/6+ (pi)/6 `

`= 4pi +{pi}/6 = 2xx(2)pi + {pi}/6 `



on a ` {61pi}/6 = {(60 +1)pi }/6 `

` = 10pi +{pi}/6 = 2xx5pi +{pi}/6 `




on a `{-47pi}/6 = {(-48 +1)pi }/6 `

` = -8pi +{pi}/6 = 2xx(-4)pi +{pi}/6 `




et par suite les trois points sont de la forme `x = 2kpi + {pi}/6; k in Z `

alors ils représentent les abscisses curvilignes du même point d'abscisse ` {pi}/6`

Avez vous une question

2) a) Vérifier que `(cosx-sinx)^2+(sinx+cosx)^2= 2 `





on a `(cosx-sinx)^2 +(sinx+cosx)^2= `

`= cos^2-2sinx xx cosx +sin^2 + cos^2+2sinx xx cosx +sin^2`

`= 2(cos^2x+sin^2x)`

`=2xx1= 2 `

alors



2b) Calculons `cosx` et `sinx` sachant que `cosx-sinx = sqrt(2) `



on a `(cosx-sinx)^2 +(sinx+cosx)^2= 2`

`=> sqrt(2)^2+ (sinx+cosx)^2= 2 `

`=> (cosx+sinx)^2= 2-2=0 `

`=> cosx+sinx =0 => underline{ cosx=-sinx }`

or `cosx-sinx= sqrt(2)`

alors `cosx+underbrace{cosx}_{ =-sinx} = 2cosx = {sqrt(2)}`

` => cosx={sqrt(2)}/2`

or `sinx= -cosx `

alors `sinx= -{sqrt(2)}/2`


Avez vous une question

3) Montrer que pour tout réel `x` `tan^2x-sin^2x= tan^2xxxsin^2x`





on a ` tan^2x xx sin^2x = tan^2x ( 1-cos^2x) `

` = tan^2x-cos^2x xx tan^2x`

`= tan^2x- {sin^2x}/{cos^2x}xxcos^2x = tan^2x-sin^2x`

alors

Avez vous une question

4) Simplifier : a) `A= cos({pi}/7)+ cos({2pi}/7) + cos({8pi}/7) + cos({9pi}/7)`





or ` cos({8pi}/7) = cos((7pi+pi)/7)= cos({pi}/7 +pi ) = -cos({pi}/7)`

or ` cos({9pi}/7) = cos((7pi+2pi)/7)= cos({2pi}/7 +pi ) = -cos({2pi}/7)`

alors `A= cos({pi}/7)+ cos({2pi}/7) - cos({pi}/7) - cos({2pi}/7) = 0 `



Avez vous une question

b) Simplifier `B= sin^2({pi}/8)+ sin^2({3pi}/8)+ sin^2({5pi}/8) + sin^2({7pi}/8)`





alors ` sin({3pi}/8) =sin({pi}/2 -{pi}/8) = cos({pi}/8) `

`=> sin^2({3pi}/8) = cos^2({pi}/8)`




or `sin({7pi}/8) = sin( {pi} - {pi}/8) = sin({pi}/8)`



On a ` sin((5pi)/8) = sin ((pi)/2 +(pi)/8) = cos((pi)/8) `



alors

`B= sin^2({pi}/8)+ sin^2({3pi}/8)+ sin^2({5pi}/8) + sin^2({7pi}/8) `

`= sin^2({pi}/8)+ cos^2({pi}/8)+ cos^2({pi}/8) + sin^2({pi}/8) `

`= 1+1 = 2 `


Avez vous une question

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