Session normale 2005

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Première partie
on considère la fonction `f` définie sur `R^+` par `f(0) = 0 ` et `f(x)= (x+2)e^(-2/x) ; x > 0 ` et `C_f` sa courbe dans un repère orthonormé

1)a) montrer que `f` est continue à droite `0 `

b) montrer que `f` est dérivable à droite `0 `

c) Montrer que `f` est strictement croissante sur `R^+*`

2) a) Calculer `lim_{ x to + infty } f(x) `

b) Montrer que `forall t in R^+ : 0 <= e^(-t) +t-1 <= t^2/2`

c) Montrer que `forall x in R^{* + } : -4/x <= f(x) -x <= 4/x^2-2/x `

d) En déduire que `C_f` admet une asymptote oblique `D ` qu'on déterminera par une équation cartésienne

3) Tracer la droite `D` et la courbe `C_f`

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Deuxième Partie
n est un entier naturel non nul on considère la fonction `f_n` définie sur `R^+` par

`f_n(0) = 0 `et `f_n(x)= (x+2/n)e^(-2/x) ; x > 0 `

1) Montrer que `f_n` est dérivable à droite de `0 `

2) Etudier les variations de la fonction `f_n` sur `R^+`

3) a) Montrer que l équation `f_n(x)= 2/n ` admet une unique solution `a_n` dans `R^+`

b) Montrer que `(forall x > 0) ( forall n in N^*) f_{n+1}(x) -2/{n+1} > f_n(x) -2/n `

c) En déduire que la suite `(a_n)_{n >= 1}` est décroissante , puis qu'elle est convergente .on note `a =lim_{n to +infty} a_n `

d) Montrer que `(forall n in N^*) na_n =2 e^(2/{a_n}) -2 `

e) Montrer que `a= 0 `