Session de rattrapage 2019

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soit la fonction `f` définie sur `R^*` par `f(x)= 2+8({x-2}/x)^2e^(x-4)`

1) a) Vérifier que `lim_{ x to -infty} f(x)= 2 `

b) Vérifier que `lim_{ x to 0} f(x)= +infty` ; puis donner l'interprétation géométrique du resultat

2) a) Calculer `lim_{ x to + infty } f(x) `

b) Montrer que `C_f` admet une branche parabolique dirigée vers l'axe des ordonnées

3) a) Montrer que `forall x in R^* : f'(x)= {8(x-2)(x^2-2x+4)e^(x-4)}/{x^3}`

b) Montrer que `forallx in R : x^2-2x+4 > 0 `

c) Montrer que `f` est décroissante sur `]0,2]` et croissant sur les intervalles `]-infty ,0[ ` et ` [2 ,+infty[`

d) Donner tableau des variations de `f`

4) Tracer la courbe `C_f` dans un repère orthonormé

5 a) Vérifier que ` H : x-> 1/xe^(x-4)` est une fonction primitive sur `[2,4] `de la fonction `h: x-> {x-1}/x^2e^(x-4)`

b) Vérifier que `f(x)= 2+8e^(x-4) -32 {x-1}/x^2e^(x-4) `

c) Calculer l intégrale `I= int_2^4 e^(x-4)dx `

d) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe `C_f` l'axes des abscisse et les deux droites ` x=2 ` et `x=4`

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Partie II
on considère la fonction `g` définie sur `[2,4]` par `g(x)= 8(x-2)e^(x-4) -x^2 `

a) Calculer `g(4)`

b) Vérifier que `forall x in [2,4] : g(x)= -(x-4)^2e^(x-4) +x^2( e^(x-4) -1)`

c) Vérifier que `forall x in [2,4] : e^(x-4) -1 <= 0 ` ; puis en déduire que `forall x in [2,4] : g(x) <= 0 `

2)a) Vérifier que `forall x in [2,4] : f(x) -x= (x-2)/x^2g(x)`

b) En déduire que `forall x in [2,4] : f(x) <= x `

3) soit `u_n` la suite numérique définie par `u_0= 3` et `u_{n+1} =f(u_n)`

a) Montrer par recurrence que `forall n in N : 2 <= u_n <= 4 `

b) Déterminer la monotonie de `u_n` , puis en déduire qu'elle est convergente

c) Calculer `lim_{ n to + infty} u_n `

1a) Vérifier que `lim_{ x to -infty} f(x) = 2 `

on a `lim_{ x to -infty} f(x)= lim_{ x to -infty} 2+8({x-2}/x)^2e^(x-4)`

on a `lim_{ x to -infty} {x-2}/x =lim_{ x to -infty} x/x= 1 `

on a `lim_{ x to -infty} e^(x-4) =e^(-infty)= 0 `

`=> lim_{ x to -infty} 2+8({x-2}/x)^2e^(x-4) = 2 +8xx(1)xx0 = 2 `

`=> ` `lim_{ x to -infty} f(x) = 2 `

1a) Vérifier que `lim_{ x to 0 } f(x) = +infty`

on a `lim_{ x to 0 } f(x)= lim_{ x to 0} 2+8({x-2}/x)^2e^(x-4)`

on a `lim_{ x to 0 } ({x-2}/x)^2 = 4/0^2=4/0^+ = +infty `

on a `lim_{ x to 0} e^(x-4) =e^(-4) > 0 `

`=> lim_{ x to 0 } 2+8({x-2}/x)^2e^(x-4) = 2 +8/e^4xx(+infty) = +infty `

`=> ` `lim_{ x to 0 } f(x) = +infty `

2a) Calculer `lim_{ x to +infty } f(x) `

on a `lim_{ x to +infty } f(x)= lim_{ x to +infty} 2+8({x-2}/x)^2e^(x-4)`

on a `lim_{ x to +infty } {x-2}/x = lim_{ x to +infty } x/x= 1 `

on a `lim_{ x to +infty} e^(x-4) =e^(+infty) = +infty `

`=> lim_{ x to +infty } 2+8({x-2}/x)^2e^(x-4) = 2 +8(+infty) = +infty `

`=> ` `lim_{ x to +infty } f(x) = +infty `