Session rattrapage 2019

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On considère la fonction `g` définie sur ` I = ]-1,+infty[` par `g(x)= 1+x^2 -2x(1+x)ln(1+x)`

1) a) Montrer que `lim_{ x to -1^+} g(x)= 2`

b) Montrer que `lim_{ x to +infty} g(x)= -infty`

2) Montrer que `g` est dérivable sur `I` et que `forall x in I : g'(x)= -2(1+2x)ln(1+x)`

3) On donne le tableau des variations de `g` en annexe

a) Montrer l existence d'un seul réel , `alpha ` , strictement positif tel que `g(alpha)= 0 `

b) Vérifier que `alpha < 1 ` on donne `ln(2)=0,7`

c) En déduire que `forall x in ]-1,alpha[ : 0 < g(x) ` et que `forall x in ]alpha, +infty[ : g(x) < 0 `

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Partie II
On considère la fonction `f` définie sur `]-1,+infty[ ` par `f(x)= {ln(1+x)}/{1+x^2}`

1) a) Calculer `lim_{ x to -1^+} f(x)` , puis donner l'interprétation géométrique du résultat obtenu

b) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x)` , puis donner l'interprétation géométrique du résultat obtenu

2) a) Montrer que `f` est dérivable sur `I ` , et que `forall x in I : f'(x)= {g(x)}/{(1+x)(1+x^2)^2}`

b) donner tableau des variations de `f`

c) vérifier que `f(alpha)= 1/{2alpha(1+alpha)}` et que `forall x in I : f(x) <= 1/{2alpha(1+alpha)}`

3a) Déterminer l'équation de la tangente `T ` de `C_f` en ` x_0= 0`

b) Montrer que `forall x > 0 : ln(1+x) < x `

c) En déduire que `forall x > 0 : f(x) < x `

d) Tracer la courbe `C_f` et la droite `T `

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Partie III

On pose `J= int_0^1 f(x) dx `

1) Par changement de variable `t = {1-x}/{1+x} ` montrer que `J= {pi}/8ln(2)`

2) Déterminer l'aire du domaine délimité par `C_f` et les droites `T ` ,` x= 0` , ` x= 1 `

3) Par intégration par partie calculer `K= int_0^1 {arctan(x)}/{1+x} dx `

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Tableau des variations de `g`