On considère la fonction `f` définie par `f(x)= abs(x+3) -2 `

1) Donner une expression de `f` sans valeur absolue

2) a) Tracer la courbe `C_f` dans un repère orthonormé `(O,vec(i),vec(j))`

b) donner le tableau des variations de `f`

3) Tracer dans le meme repère la droite `Delta` d'équation `Delta: y=-3x `

4) Déterminer les points d'intersection de `C_f` et la droite `Delta`

5) Résoudre dans `R` l'équation `f(x)= -3x`

6) Résoudre graphiquement l inéquation `f(x) <= -3x`

1) l'expression de `f` sans valeur absolue

on a ` x+3 >= 0 <=> x >= -3 `

---

$$
f(x) =
\begin{cases}
x+1, & \text{ si } -3<= x \\ \\

-x-5 , & \text{ si } x <= -3
\\ \\

\end{cases}
$$

2a) la courbe `C_f`

2b) Tableau des variations de `f`

les variations de `f` sur l intervalle `]-infty,-3]`

soit ` a, b in ]-infty ,-3] `

on a `f(x)= -x-5`

on a `f(a) -f(b)= -a-5 -( -b-5)= -a -5 +b +5`

`=> f(a) -f(b)= b-a = -(a-b) `

`=> {f(a) -f(b)}/{a-b}= -1 `

`=> T_f (a,b)= {f(a) -f(b)}/{a-b}= -1 < 0 `

alors la fonction ` f` est décroissante sur `]-infty,-3]`

---

les variations de `f` sur l intervalle `[-3,+infty[`

soit ` a, b in [-3,+infty[ `

on a `f(x)= x+1`

on a `f(a) -f(b)= a+1 -(b +1) `

`=> f(a) -f(b)= a-b `

`=> {f(a) -f(b)}/{a-b}= 1 `

`=> T_f (a,b)= {f(a) -f(b)}/{a-b}= 1 > 0 `

alors la fonction ` f` est croissante sur `[-3,+infty[ `

la droite `(Delta ) : y = -3x ` et la courbe `C_f`

les points d'intersection la droite `(Delta ) : y = -3x ` et la courbe `C_f`

on remarque que la la droite coupe la courbe `C_f` en un unique point sur l intervalle `[-3,+infty[`

Soit `x in [-3, +infty[`

On a ` f(x)= -3x `

`<=> x +1 = -3x `

`<=> 4x = -1 `

`<=> x = -1/4 `

le point d'intersection est `A(-1/4 , f(-1/4) ) = A(-1/4, 3/4) `

Méthode analytique

Puisque la fonction est définie par deux parties il faut discuter deux cas

Premier cas si ` x in [-3,+infty[`

On a `f(x)= -3x <=> x+1 = -3x `

`<=> x = -1/4 `

Puisque ` -1/4 in [-3, +infty[`

alors `C_f` coupe la droite `(Delta)` en `A(-1/4 , f(-1/4)) `

Deuxième cas si ` x in ]-infty
, -3]`

On a ` f(x)= -3x `

`<=> -x -5 <= -3x `

`<=> 2x = 5 `

`<=> x = 5/2 `

Puisque ` 5/2 notin ]-infty , -3]`

donc l'équation `f(x)= -3x` n'admet pas de solution sur `]-infty , -3]`

c'est à dire que la droite ne coupe pas la courbe `C_f`

6) Résoudre graphiquement l 'inéquation `f(x) <= -3x `

les solutions de l'inéquation sont les valeurs de ` x` telles que la droite `Delta` est au dessus de la courbe `C_f`

alors d'après les courbes de `f` et de la droite on remarque que la droite `Delta ` est au dessus de `C_f` sur l intervalle `]-infty,-1/4]`