Exercice 2) : Session normale 2020

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Dans l'ensemble des nombres complexes on considère l'équation `E : z^2 -2(sqrt(2)+sqrt(6))z+ 16 = 0 `

1) a) Vérifier que `Delta = -4(sqrt(6) -sqrt(2))^2 `

b) En déduire les solutions de l'équation `E`

2) On considère les nombres complexes : ` a= (sqrt(6)+sqrt(2)) + i( sqrt(6) -sqrt(2))` , ` b=1+isqrt(3)` , ` c= sqrt(2) +isqrt(2)`

a) Vérifier que `b*bar(c)= a ` , puis en déduire que `ac=4b`

b) Donner la forme trigonométrique des nombres ` b` et `c `

c) En déduire que ` a= 4( cos({pi}/{12}) + i sin({pi}/{12}))`

3) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(u),vec(v))` on considère les points ` B,C,D ` des affixes respectives ` b , c , d` avec ` d= a^4`

Soit `M(z)` un point du plan complexe et `M'(z') ` l'mage de `M(z)` par la rotation `R` du centre `O` et d'angle `{pi}/{12}`

a) Vérifier que `z'= 1/4az`

b) Déterminer l'image de `C` par la rotation `R`

c) Déterminer la nature du triangle `OBC`

d) Montrer que `a^4= 128b` , puis en déduire que les points `O,B, D ` sont alignés

1) Vérifier que `Delta = -4 ( sqrt(6) -sqrt(2))^2`

on a ` E : z^2 -2(sqrt(2)+sqrt(6))z+ 16 = 0 `

alors `Delta = (-2(sqrt(2)+sqrt(6)))^2 - 4xx16xx1 `

` = 4 (sqrt(2)+sqrt(6))^2 -4xx16 `

` = -4 ( 16 - (sqrt(2)+sqrt(6))^2)`

`= -4( 16 - (2+6 +2sqrt(2)xxsqrt(6) )`

`= -4( 8 - 2sqrt(2)xxsqrt(6) )`

`= -4( sqrt(2)^2+sqrt(6)^2 - 2sqrt(2)xxsqrt(6) )`

`= -4 ( sqrt(6) -sqrt(2))^2 `

alors `Delta = -4 ( sqrt(6) -sqrt(2))^2 `

1b ) en déduire les solutions de l'équation `E`

on a `Delta = -4 ( sqrt(6) -sqrt(2))^2 = (2(sqrt(6) -sqrt(2)) i)^2 `

alors `z_1 = { 2(sqrt(6) + sqrt(2)) + 2(sqrt(6) -sqrt(2)) i }/2 ` et `z_2= { 2(sqrt(6) + sqrt(2)) - 2(sqrt(6) -sqrt(2)) i }/2 `


`z_1 = sqrt(6) + sqrt(2) + (sqrt(6) -sqrt(2)) i ` et `z_2 = (sqrt(6) + sqrt(2)) - 2(sqrt(6) -sqrt(2)) i `

2a) Vérifier que `bxxbar(c)=a`

on a `bxxbar(c)=(1+isqrt(3))( sqrt(2) -isqrt(2)) `

`= sqrt(2) -isqrt(2) + isqrt(3)xxsqrt(2) + sqrt(2)xxsqrt(3) `

`= sqrt(6) + sqrt(2) + i (sqrt(6) -sqrt(2))`

`= a `

alors `bxxbar(c)=a `

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En déduire que ` ac = 4b `

on a ` axxc= bxxbar(c)c= b abs(c)^2 `

on a ` abs(c)^2 =(sqrt(2))^2+sqrt(2)^2= 2+2= 4 `

`=> axxc = 4b `

2 b) les formes trigonométrique de `b` et `c`

la forme trigonométrique du nombre ` c= sqrt(2) +isqrt(2) `

on a ` abs(c)= sqrt( sqrt(2)^2+ sqrt(2)^2)= sqrt(4)= 2 `

`=> c = 2( {sqrt(2)}/2 + i {sqrt(2)}/2) `

` = 2(cos({pi}/4) + isin({pi}/4) )`

alors ` c= [2 , {pi}/4] `

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la forme trigonométrique du nombre ` b=1+isqrt(3) `
on a ` abs(b) = sqrt(1+3)= sqrt(4)= 2 `

`=> b = 2( 1/2 + {sqrt(3)}/2i) = 2 ( cos ({pi}/3) + isin({pi}/3))`

`=> b = [ 2 , {pi}/3] `

2c) En déduire que ` a =4( cos({pi}/{12}) + i sin({pi}/{12})`

on a `bxxbar(c)= a `

alors ` a= [ 2, {pi}/3] xx[ 2, -{pi}/4] = [2xx2 , {pi}/3 -{pi}/4]`

`= [4 , {4pi -3pi}/{12}]`

`=[4 , {pi}/{12}]`

donc ` a =4 [ cos({pi}/{12}) + i sin({pi}/{12}) ]`

3a) Vérifier que `z'= 1/4az`

on a ` z' -z_O = e^(i{pi}/{12}) (z-z_0)`

`=> z' =e^(i{pi}/{12}) z `

`=> z' =(cos({pi}/{12}) + sin( {pi}/{12}) )z `

or ` a= 4(cos({pi}/{12}) + sin( {pi}/{12}))`

`=> cos({pi}/{12}) + sin( {pi}/{12}) = a/4 `

alors `z'= 1/4az`

3b) l image de `C` par la rotation `R`

on a `z'= 1/4az`

donc `z'_c = 1/4ac `

or ` ac = 4b ` d'après 2 a)

`=> z' = b `

donc `B` est l image de `C ` par la rotation `R `

3c) la nature du triangle `OBC`

on a `B` est l image de `C ` par la rotation `R `

alors `OB =OC ` donc `OBC` est un triangle isocèle

Montrer que `a^4= 128b`

on a d'après 2 c) : ` a = [4 ,{pi}/{12}] `

`=> a^4 = [4^4 , 4{pi}/{12}] `

`=> a^4 =[ 256 , {pi}/3] = `

`=> a^4 = 256 ( cos({pi}/3) + sin({pi}/3)) `

`=> a^4 = 128xx2 ( cos({pi}/3) + sin({pi}/3)) `

or ` b = 2 ( cos({pi}/3) + sin({pi}/3))`


alors `a^4 = 128 b `

alors ` d= 128 b `

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En déduire que les points `O,D,B` sont alignés

Méthode 1

on a déduit que ` d= 128 b `

`<=> d/b = 128 in R `

`<=> {d-0}/{ b-0 } in R `

`<=> ` les poinst ` O , B , D` sont alignés

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Méthode 2 )

on a ` d= 128 b `

`<=> d -0 = 128 b - 128xx0 `

`<=> vec(OD)= 128 vec(OB)`

alors les points `O,B,D` sont alignés