A, B,C,D sont quatre points du plan tels que : ` 2vec(BC) -9vec(AC) -7vec(DA)= vec(0) `

Montrer que ` (AB) text { //} (DC) `

Rappels

1 `vec(AB)= -vec(BA) `

2 `vec(AB)= vec(AC) +vec(CB) `

3 `vec(AB)= k vec(CD) ` est équivalente à `(AB) text{ // }(CD) `



A, B,C,D sont quatre points du plan tels que : ` 2vec(BC) -9vec(AC) -7vec(DA)= vec(0) `

on a `2vec(BC)= 2 underbrace{( vec(BA) +vec(AC))}_{\text{Relation de Chasles }} = 2( -vec(AB) + vec(AC)) `

` = 2vec(AC) -2vec(AB) `

`2vec(BC) = 2vec(AC) -2vec(AB) `

on a ` -7 vec(DA)= -7 (vec(DC) +vec(CA)) = -7 vec(DC) -7vec(CA) `

` = 7 vec(CD) +7vec(AC) `

` -7 vec(DA) = 7 vec(CD) +7vec(AC) `

alors ` 2vec(BC) -9vec(AC) -7vec(DA)= vec(0) `

` 2vec(AC) -2vec(AB) -9vec(AC) + 7 vec(CD) +7vec(AC) = vec(0) `

` 9 vec(AC) -9 vec(AC) -2vec(AB) +7 vec(CD) = 0 `

` -2vec(AB) + 7 vec(CD) = vec(0) `

` 7 vec(CD)= 2 vec(AB) `

` vec(CD)= 2/7 vec(AB) `

`=> vec(CD)` et `vec(AB)` sont colinéaires

il s'ensuit que ` (CD) text{//} (AB) `