Soit `(u_n)` la suite numérique définie par :

` u_0 = 4 `

`u_(n+1)= 2/5u_n +3 ; n in N `

1) Calculer `u_1 , u_2 `

2) Montrer par récurrence que ` forall n in N : u_n < 5 `

3a) Montrer que `( forall n in N ) : u_n -u_(n+1) = 3/5(u_n -5 ) `

b) Montrer que la suite `(u_n)` est croissante

c) En déduire que ` forall n in N : 4 <= u_n < 5 `

1) Calculer `u_1 , u_2 `

On a ` forall n in N :u_(n+1)= 2/5u_n +3 ; n in N `

Calculons `u_1 `

pour ` n = 0 => u_1 = 2/5u_0 +3 `

` = 2/5xx4 +3 ` car `u_0= 4 `

`= 8/5 +3 = (8+15)/5 = (23)/5 `

alors `u_1 = (23)/5 `

Calculons `u_2 `

pour ` n =1 => u_(1+1)= u_2 = 2/5u_1 +3 `

` = 2/5(23)/5 +3 = (46)/(25) +3 = (46+75)/(25)= (121)/(25)`

alors `u_2 = (121)/(25) `

2) Montrer par récurrence que ` forall n in N : u_n < 5 `

Soit `H(n) : forall n in N : u_n < 5`

Initialisation

Pour ` n = 0 ` on a `u_0= 4 ` or `4 < 5 `

`=> u_0 < 5 `

`=> H(0) ` est vraie

Hérédité

Soit ` n in N ` fixe supposons que `u_n < 5 ` montrons que `u_(n+1) < 5 `

on a `5 -u_(n+1)= 5 -(2/5u_n +3)= 5 -2/5u_n -3 `

` = 2 -2/5u_n = 2/5( 5 - u_n) `

on a par hypothèse de récurrence `u_n < 5 => 5-u_n > 0 `

`=> 2/5(5-u_n) > 0 `

`=> 5-u_(n+1) > 0 `

alors `u_(n+1) < 5 `

`=> H(n+1) ` est vraie

Conclusion

Selon le principe de la récurrence on déduit que ` forall n in N : u_n < 5 `

3a) Montrer que `( forall n in N ) : u_n -u_(n+1) = 3/5(u_n -5 ) `

Soit ` n in N `

on a `u_n -u_(n+1)= u_n - (2/5u_n +3) = u_n -2/5u_n -3 `

` = (5u_n -2u_n)/5 -3 `

` = 3/5u_n -3`

` = 3/5u_n -3xx5/5 `

`= 3/5(u_n - 5) `

alors ` forall nin N : u_n -u_(n+1)=3/5(u_n -5 ) `

3 c) En déduire que ` forall n in N : 4 <= u_n < 5 `

soit ` n >= 0 `

On a d'après la question 2) ` u_n < 5 ` (xx)

on a d'après la question 3b) `(u_n)` est croissante alors pour ` 0 <= n => u_0 <=u_n `

`=> 4 <= u_n ` (xxxx) car `u_0 = 4 `

de (xx) et (xxxx) on déduit que `4 <= u_n < 5 `

` forall n in N : 4 <= u_n < 5 `