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Exercice
Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 1/2 ` et `u_(n+1)=(9u_n)/(4u_n+3)` pour tout ` n in N `

1 Montrer par récurrence que ` forall n in N : u_n ne 0 `

2 Pour tout ` n in N ` on pose `v_n =2-3/u_n` . Montrer que `(v_n)` est géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme
2 réponses

Montrons par récurrence que :` forall n in N : u_n ne 0 `



Initialisation

pour ` n = 0 ` on a `u_0 = 1/2 `

Puisque `1/2 ne 0 ` alors `u_0 ne 0 `

Hérédité

Soit ` n in N ` fixe supposons que `u_n ne 0 ` montrons que `u_(n+1) ne 0 `

Or `u_(n+1)= (9u_n)/(4u_n+3) `

et par hypothèse de récurrence `u_n ne 0 `

alors `(9u_n)/(4u_n+3) ne 0 `

`=> u_(n+1) ne 0 `

Conclusion

On déduit selon le principe de la récurrence que ` forall n in N : u_n ne 0 `

Avez vous une question

2) Montrer que `(v_n)` est géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme



On a a pour tout ` n in N : v_(n+1)= 2 -3/u_(n+1) `

` = 2 -3/((9u_n)/(4u_n+3))`

` = 2 - 3 [ (4u_n +3)/(9u_n) ] `

` = 2 - 3 [ 4/9 +1/(3u_n) ] `

` = 2-4/3 -1/u_n `

`= 2/3 - 1/u_n `

` = 1/3[ 2 -3/u_n] `

`= 1/3 v_n `

alors `forall n in N : v_(n+1)= 1/3v_n `

Ainsi `(v_n)` est géométrique de raison `q=1/3` et `v_0 = 2-3/u_0 = 2 -3/(1/2) = 2-6 = -4 `

et par conséquent

Avez vous une question

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