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Exercice
On considère la suite numérique définie par `u_0= 1/4 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)=2u_n^2 `

Montrer que `( forall n in N) : 0 < u_n < 1/2 `
1 réponses
Démonstration par récurrence

Initialisation

Pour `n =0 ` on a ` u_0 =1/4 ` comme `0 < 1/4 < 1/2 `

`=> 0 < u_0 < 1/2 `

Hérédité

Soit ` n in N ` fixe on suppose que `0 < u_n < 1/2 ` montrons que `0 < u_(n+1) < 1/2 `

On a par hypothèse de récurrence `0 < u_n < 1/2 `

alors `0 < u_n^2 < (1/2)^2 `

et par suite `0 < 2u_n^2 < 2xx1/4 = 1/2 `

alors `0 < u_(n+1) < 1/2 `

Conclusion

Selon le principe de la récurrence on déduit que ` forall n in N : 0 < u_n < 1/2 `

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