1 Montrons que la suite `(u_n)` est arithmétique

On a pour tout ` n in N : u_(n+1) -u_n = -7(n+1) +1 - [ -7n +1] `

` = -7n -7 +1 +7n -1 `

`= -7 `

`=> u_(n+1) -u_n = -7 ` et par conséquent `(u_n)` est arithmétique de raison `r = -7 `

2 Montrons que `(v_n)_{ n >= 1}` est arithmétique

On a pour tout `n in N^(ast) : v_(n+1) -v_n = 1/(u_(n+1) -5)-1/(u_n-5)`

Puisque `u_(n+1) -5 = (25)/(10 -u_n) -5 = (25 -5xx10 +5u_n)/(10 -u_n) `

`= ( 5u_n -25)/(10 -u_n)`

`= (5(u_n-5))/(10 -u_n) `

`=> 1/(u_(n+1) -5)-1/(u_n-5) = 1/[(5(u_n-5))/(10 -u_n)] - 1/(u_n-5) `

` = (10 -u_n)/(5(u_n-5)) -5/(5(u_n-5))`

` = (10 -u_n -5 )/(5(u_n-5))`

`= ( 5 -u_n)/(5(u_n-5))`

` = - 1/5 `

et par conséquent `v_(n+1) -v_n = -1/5 ` pour tout ` n in N^(ast) `

Ainsi la suite `(v_n)_{ n >= 1} ` est arithmétique de raison `r = -1/5 `