Exercice

Soit `O, A, B, C , D ` des points de l'espace orienté

1) Montrer que $$\vec{OA} \land \vec{OB} + \vec{OB} \land \vec{OC} + \vec{OC} \land \vec{OA} =\vec{AB} \land \vec{AC} $$

2) Montrer que $$\vec{AB} \land \vec{CD} + \vec{AC} \land \vec{DB} + \vec{AD} \land \vec{BC} = 2 \vec{BD} \land \vec{BC} $$

2 réponses

1) Montrer que $$ \vec{OA}\land \vec{OB} + \vec{OB} \land \vec{OC} + \vec{OC} \land \vec{OA} =\vec{AB} \land \vec{AC} $$

On a $$ \vec{AB} \land \vec{AC} = ( \vec{AO} + \vec{OB} ) \land ( \vec{AO} +\vec{OC} ) $$
$$ = ( \vec{OB}-\vec{OA} ) \land (\vec{OC} -\vec{OA} ) $$
$$ = \vec{OB} \land \vec{OC} -\vec{OB} \land \vec{OA} - \vec{OA} \land \vec{OC} + \vec{OA} \land \vec{OA} $$
$$ = \vec{OB} \land \vec{OC} +\vec{OA} \land \vec{OB} + \vec{OC} \land \vec{OA} + \vec{0} $$

alors $$ \vec{OA}\land \vec{OB} + \vec{OB} \land \vec{OC} + \vec{OC} \land \vec{OA} =\vec{AB} \land \vec{AC} $$

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2) Montrer que $$\vec{AB} \land \vec{CD} + \vec{AC} \land \vec{DB} + \vec{AD} \land \vec{BC} = 2 \vec{BD} \land \vec{BC} $$

on a $$\vec{AB} \land \vec{CD} + \vec{AC} \land \vec{DB} + \vec{AD} \land \vec{BC} $$
$$\vec{AB} \land \vec{CD} + \vec{AC} \land \vec{DB} + ( \vec{AB}+\vec{BD} ) \land \vec{BC} $$
$$\vec{AB} \land \vec{CD} + \vec{AC} \land \vec{DB} + \vec{AB} \land \vec{BC} +\vec{BD} \land \vec{BC} $$
$$\vec{AB} \land (\vec{BC} + \vec{CD}) + \vec{AC} \land \vec{DB} +\vec{BD} \land \vec{BC} $$
$$\vec{AB} \land \vec{BD} + \vec{AC} \land \vec{DB} +\vec{BD} \land \vec{BC} $$
$$\vec{AB} \land \vec{BD} + \vec{AC} \land - \vec{BD} +\vec{BD} \land \vec{BC} $$
$$\vec{AB} \land \vec{BD} - \vec{AC} \land \vec{BD} +\vec{BD} \land \vec{BC} $$
$$ ( \vec{AB} -\vec{AC} ) \land \vec{BD} +\vec{BD} \land \vec{BC} $$
$$ ( \vec{AB} +\vec{CA} ) \land \vec{BD} +\vec{BD} \land \vec{BC} $$
$$ \vec{CB} \land \vec{BD} +\vec{BD} \land \vec{BC} $$
$$ -\vec{BC} \land \vec{BD} +\vec{BD} \land \vec{BC} $$
$$ \vec{BD} \land \vec{BC} +\vec{BD} \land \vec{BC} $$
$$ 2 \vec{BD} \land \vec{BC} $$

alors $$\vec{AB} \land \vec{CD} + \vec{AC} \land \vec{DB} + \vec{AD} \land \vec{BC} = 2 \vec{BD} \land \vec{BC} $$

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