Partie 1 )
Soit `g` la fonction sur `R` par `g(x)= 1+(1+x)e^x`

1) Etudier les variations de `g`

2) En déduire que ` forall x in R : g(x) > 0 `

Partie II

On considère la fonction `f ` définie sur `R` par :

$$ \begin{cases} \frac{2x}{1+e^{\frac{1}{x}}} ;\text{ si } x \ne 0 \\ f(0)= 0 \end{cases} $$

et `C_f ` sa courbe dans un repère orthonormé `(O,vec(i),vec(j))`

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) , lim_{ x to -infty} f(x) `

2) Montrer que `f` est continue en `0`

3) Etudier la dérivabilité à gauche et à droite de `f` en `0` puis donner une interprétation géométrique des résultats obtenus

4) a) Montrer que `forall x in R^(ast) : f'(x)= (2g(1/x))/(1+e^(1/x))^2`

b) dresser le tableau de variations de `f`

5) Etudier les branches infinies de la courbe `C_f`

6) Construire la courbe `C_f`