Soit `n` un entier naturel tel que ` n >= 2 `

On pose ` : a_n = int_(1/n)^1 lnx dx `

1) Montrer que `a_n = 1/n +(lnn)/n - 1 ` , puis en déduire `lim_{ n to +infty} a_n `

2) Montrer que pour tout ` k in [ 1, n-1] : 1/nln(k/n) <= int_{ k/n}^((k+1)/n} lnx dx <= 1/nln((k+1) /n) `

3) On pose `u_n = 1/n sum_{ k=1}^(n-1) ln(k/n) `

a) Montrer que ` u_n <= a_n <= u_n + (lnn)/n `

b) En déduire que `(u_n)_(n >= 2) ` est convergente et donner sa limite

4) On pose `v_n = e^(u_n) `

a) Déterminer la limite de la suite `(v_n)_{ n >= 2 } `

b) Montrer que ` forall n >= 2 ` $$ v_n = \frac{\sqrt[n]{ n!} }{n} $$

c) En déduire `lim_{ n to +infty} (1/(n!))^(1/n) /(e/n) `