1) a) Résoudre dans `Z^2 ` l'équation ` (E) :3x-2y=1 `

b) Soit ` n in N ` montrer que les couples ` ( 14n+3 , 21n +4) ` vérifient l'équation `(E) `

c) En déduire `PGCD(14n+3 , 21n+4)= 1 `

2) On pose ` d= PGCD(2n+1 , 21n+4) `

a) Montrer que ` d= 1 ` ou ` d= 13`

b) Montrer que ` d= 13 <=> n = 6 [13]`

1) a) Résoudre dans `Z^2 ` l'équation ` (E) :3x-2y=1 `

on a `PGCD(3,2)=1 ` alors selon le théorème de Bezout l'équation admet des solutions

Soit `(x,y) ` solution de `(E) `

`=> 3x-2y = 1 `

`=> 3x = 1 +2y = 1 [2]`

`=> x = 1-2x[2] = 1 [2]`

`=> x = 1+2k ; k in Z `

On remplace `x ` dans l'équation `(E) `

`=> 3(1+2k) -2y = 1 `

`=> 2y = 3 +6k -1 = 2 +6k `

`=> y = 1+3k `

Ainsi le couple `(x,y)` solution de `(E) => (x,y)=(1+2k ; 1+3k ) ; k in Z `

la réciproque

soit ` k in Z ` tel que `(x,y)= (1+2k , 1+3k) `

`=> 3(1+2k) -2(1+3k)= 3 +6k -2 -6k = 1 `

alors `(x,y)=(1+2k , 1+3k) ` est solution de l 'équation `(E) `

Ainsi l'ensemble des solutions de l'équation `(E) ` est `S = { (1+2k ; 1+3k ) ; k in Z } `

b) Soit ` n in N ` montrer que les couples ` ( 14n+3 , 21n +4) ` vérifient l'équation `(E) `

soit ` n in N ` on a `3(14n+3) -2(21n+4)= 42n +9 -42n -8 = 1 `

alors les couples ` ( 14n+3 , 21n +4) ` vérifient l'équation `(E) `

c) En déduire `PGCD(14n+3 , 21n+4)= 1 `

Soit ` d = PGCD(14n+3 , 21n+4) `

alors ` d >= 1 `

d'autre part ` d text{ / } (14n+3) ` et ` d text{ / } (21n+4) `

` => d text{ / } 3(14n+3)-2(21n+4) `

` => d text{ / } 1 `

`=> d <= 1 `

Ainsi ` d= 1 `