Session normale 2021

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On considère dans `Z^2 ` l'équation `47x -43y = 1 `

1) a)Vérifier que `(11, 12) ` est une solution de l 'équation `(E) `

b) Résoudre dans `Z^2 ` l'équation `(E) `

2) On considère dans `Z` l'équation ` (F) : x^(41)= 4 [43]`

Soit `x ` une solution de l'équation `(F) `

a) Montrer que ` x` et `43` sont premiers entre eux

b) En déduire que `x^(42)= 1 [43]`

c) Montrer que `4x = 1 [43]` puis en déduire que ` x = 11 [43]`

d) Déterminer les solutions de l'équation `F`

3) On considère dans `Z` le système `(S) `

` x^(41)=4 [43]`

`x^(47)=10[47]`

soit ` x` une solution du système `(S) `

a) Montrer que `x ` est solution du système `(S') `

` x = 11[43]`
` x= 10 [ 47]`

b) En déduire que ` x = 527[2021]` ( On pourra utiliser résultat de la question 1)

c) Déterminer l'ensemble des solutions dans `Z` du système `(S) `

1) a)Vérifier que `(11, 12) ` est une solution de l 'équation `(E) `

on a `47*11 -43*12`

`= 470+47 -430 -2*43 ` [ ! la calculatrice est interdite ]

` = 87 - 86 = 1 `

alors `( 11, 12) ` est une solution de l 'équation `(E)`

2 b) Résoudre dans `Z^2 ` l'équation `(E) `

on a `43` et `47 ` sont premiers alors `PGCD(43,47)=1 `

donc le selon le théorème de Bezout l 'équation admet des solutions

soit `(x,y)` solution de `(E) `

`=> 47x -43y = 1 = 47 *11 -43*12 `

`=> 47(x-11)= 43( y -12) `

`=> 43 text{ / } 47(x-11) `

Or `PGCD(43, 47)= 1 `

alors selon le théorème de Gauss

`=> 43 text{ / } (x-11) `

`=> x- 11 = 43k ; k in Z `

`=> x = 11 + 43k `

Puisque `47(x-11)= 43(y-12) `

`=> 47*43k = 43(y-12) `

`=> 47k = y-12 `

`=> y = 12 +47k `

Ainsi `(x,y)` est solution de `(E) => (x,y) =( 11+43k , 12+47k) `

la réciproque

soit `k in Z `

on a `47(11+43k) - 43(12+47k)= 47*11 -43*12 + 47*43k -43*47k = 1 `

alors `( 11+43k , 12+47k) ; k in Z ` est une solution de l'équation `(E) `

Conclusion

l'ensemble `(S)` des solutions de l'équation `(E) ` est `S ={ ( 11+43k , 12+47k) ; k in Z } `

2 a) Montrer que ` x` et `43` sont premiers entre eux

Soit `x` solution de `(F)` on pose `d = PGCD(x, 43) `

`=> d text{ / } x ` et ` d text{ / } 43 `

puisque `43 ` est premier alors ` d in { 1 , 43 } `

si ` d = 43 `

`=> x = 0 [43]`

`=> x^(41)= 0 [43]`

comme `x^(41)= 4 [43]`

`=> 4 = 0 [43]` absurde alors ` d ne 43 `

Ainsi
`=> PGCD(x,43)=1 ` et par conséquent `x, 43` sont premiers entre eux

b) En déduire que `x^(42)= 1 [43]`

on a `PGCD(x, 43)=1 ` et `43` est un nombre premier

alors selon le théorème de FERMAT `x^(43 -1)= 1 [43]`

`=> x^(42)=1 [43] `

c) Montrer que `4x = 1 [43]` puis en déduire que ` x = 11 [43]`

on a `x^(41)= 4 [43]` par hypothèse

`=> x^(42)= 4x [43]`

or `x^(42)= 1 [43]` selon la question 2b

alors `=> 4x = 1 [43]`

on a `4x = 1 [43] `

`<=> 4*11x = 11 [43] ` car `PGCD(11,,43)=1 `

`<=> x +43x = 11 [43] `

`<=> x = 11 [43] `

alors on déduit que ` x = 11[43]`

d) Déterminer les solutions de l'équation `F`

on a selon la question 2c ) ` x ` solution de `(F) => x = 11[43]`

la réciproque montrons que `x= 11 [43] => x ` est solution de `F`

soit ` x = 11 [43]`

`=> x^(41)= 11^(41) [43] `

On a selon le théorème de Fermat `11^(43-1)=11^(42)= 1 [43] ` car `43` est premier et `PGCD(11,43)=1 `

`=> 11^(42) = 1 [43] ` (* )

soit `a ` tel que `11^(41)= a [43]` ( 1)

`<=> 11*11^(41)= 11 a [43]` car `PGCD(43,11)= 1 `

`<=> 11^(42)= 11 a [43] `

`<=> 11^(42) = 11a [43] ` (** )

de (*) et (**) on déduit que `11a = 1 [43]`

`<=> 4*11a = 4 [43]` car `PGCD(4,43)=1 `

`<=> 44a = 4 [ 43]`

`<=> a = 4 -43a [43]`

`<=> a = 4 [43]` (2)

de ( 1) et (2) on déduit : `11^(41)= a [43] = 4 [43 ] `

et par conséquent `x^(41)= 11^(41)= 4 [43] `

alors ` x^(41)=4[43] `

c'est à dire ` x= 11[43] => x ` est une solution de l'équation `(F) `

Conclusion

`x` est une solution de `(F) <=> x = 11 [43]`

Ainsi l'ensemble des solutions de l'équation `(F) ` est `{ 11+43k ; k in Z } `

3a) Montrer que ` x = 11[43]` et ` x= 10 [ 47]`

soit ` x ` solution de `(S) `

alors `x^(41)= 4 [43]`

selon 2d) on déduit que ` x= 11 [43]`

d'autre part on a `47` est un nombre premier alors selon le théorème de Fermat

`x^(47)= x [47]`

Puisque ` x^(47) = 10 [47]` car on a supposé que ` x ` est solution du système `(S)`

alors ` x = 10 [47 ]`

Conclusion
` x ` solution du système `=> x = 11[43] text{ et } x = 10 [47 ] `

b) En déduire que ` x = 527[2021]`

Méthode 1 : utilisation de l indication

on a d'après 3a) ` x = 11[43]` et ` x = 10 [47]`

`=> x = 11 + 43n ` et ` x = 10 +47m `

`=> 11 +43n = 10 + 47m `

`=> 1 = 47m -43n `

alors `(m,n)` est solution de l'équation `(E) `

`=> (m,n)= ( 11+43k , 12+47k) `

alors `x= 11+43n = 11 +43( 12+47k) = 11 +43*12 +43*47 k `

` = 527 + 2021k `

`=> x = 527[2021] `

On obtient le meme résultat avec `x= 10 +47m = 10 +47(11+34k) = 10 +47*11+ 2021k `

` = 527 + 2021k `

Conclusion

` x ` solution du sytème `(S) => x = 527[2021]`

Méthode 2 :


On a `527 = 11*47 +10 ` et `527 = 12*43 + 11 `

alors `527 = 10 [47] ` et `527 = 11 [43] `

alors `10 = 527 [47] ` et `11= 527 [43] `

on d 'après 3a ) ` x` solution du système `(S) => `

` x = 10 [47] => x = 527 [47] ` car `10 = 527 [47] `

et
`x= 11[43] => x = 527 [43] ` car ` 11 = 527 [43] `


On déduit que `47` divise ` x-527` et `43` divise `x -527`

Et puisque `PGCD(43,47)=1 `

alors `47*43 = 2021 ` divise ` x-527 `

c'est à dire ` x= 527 [2021]`

c) Déterminer les solutions dans `Z` du système `(S) `

d'après la question 3b) on déduit que

`x ` solution de `(S) => x = 527 [2021]`

la réciproque

soit ` x = 527 [2021]`

`=> 43*47 = 2021 ` divise ` x-527 `

`=> 43` divise ` x- 527 `

`=> x = 527 [43] = 11 [43 ] `

`=> x^(41)= 4 [43] ` selon les résultats de la partie II)

de meme `=> 47` divise ` x- 527 `

`=> x = 527 [47] = 10 [47 ] `

`=> x^(47)= 10^(47) [47]`

` = 10 [47]` selon FERMAT car `47` est un nombre premier

`=> x^(47)= 10 [47] `

Alors ` x= 527 [2021]=> x ` est une solution de `(S) `

Conclusion

`(S) <=> x = 527 [2021] `

l'ensemble des solutions du système `(S)` est ` { x= 527 + 2021k ; k in Z } `