Session normale 2021

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On considère dans `Z^2 ` l'équation `47x -43y = 1 `

1) a)Vérifier que `(11, 12) ` est une solution de l 'équation `(E) `

b) Résoudre dans `Z^2 ` l'équation `(E) `

2) On considère dans `Z` l'équation ` (F) : x^(41)= 4 [43]`

Soit `x ` une solution de l'équation `(F) `

a) Montrer que ` x` et `43` sont premiers entre eux

b) En déduire que `x^(42)= 1 [43]`

c) Montrer que `4x = 1 [43]` puis en déduire que ` x = 11 [43]`

d) Déterminer les solutions de l'équation `F`

3) On considère dans `Z` le système `(S) `

` x^(41)=4 [43]`

`x^(47)=10[47]`

soit ` x` une solution du système `(S) `

a) Montrer que `x ` est solution du système `(S') `

` x = 11[43]`
` x= 10 [ 47]`

b) En déduire que ` x = 527[2021]` ( On pourra utiliser résultat de la question 1)

c) Déterminer l'ensemble des solutions dans `Z` du système `(S) `