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Exercice

Soit `n` entier naturel

On considère l'équation `f_n` définie sur `R` par `f_n(x)= (-2e^x)/(1+e^x) +nx `

`C_f` la courbe de `f` dans un repère orthonormé `abs(abs(vec(i))) =abs(abs(vec(j))) = 1 `

Partie I

1) a) Calculer `lim_{ x to +infty} f_n(x) -nx +2 ` puis interpréter graphiquement le résultat obtenu

b) Montrer que la courbe `C_f` admet , au voisinage de `-infty` , une asymptote dont on déterminera son équation cartésienne

2) a) Montrer que `f_n` est dérivable sur `R` et ` forall x in R : f'(x)= (-2e^x)/(1+e^x)^2 + n `

b) Montrer que ` forall x in R : (4e^x)/(1+e^x)^2 <= 1 `

c) En déduire les variations de `f_n` ( discuter les cas `n = 0 ` et ` n >= 1` )

3a) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe `C_f` au point `I ` d'abscisse `x= 0 `

b) Montrer que `I` est l'unique point d'inflexion de la courbe `C_f`

4) Tracer dans le meme repère les courbes `C_0 , C_2 `

5) Pour tout `t > 0 ` on pose `A(t)` l'aire du domaine délimité par la courbe `C_n` et les droites ` y = nx -2 ` et ` x= 0 , x= t `

a) Calculer `A(t) ` pour tout ` t > 0 `

b) Calculer `lim_{ t to +infty} A(t) `

Partie II

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 0 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f_0(u_n) `

6)a ) Montrer que l'équation `f_0(x)= x ` admet une solution unique ` alpha ` dans `R `

b) Montrer que ` forall x in R : abs((f_0)'(x)) <= 1/2 `

c) Montrer que ` forall n in N : abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/2 abs(u_n-alpha) `

d) En déduire que ` forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/2)^n abs(alpha) `

e) Montrer que `lim_{ n to +infty} u_n = alpha `

Partie III

On suppose dans cette partie ` n >= 2 `

7) a) Montrer que pour tout ` n >= 2 ` l'équation `f_n(x)=0` admet une solution unique ` x_n `

b) Montrer que `0 < x_n < 1 ` on donne ( `(2e)/(1+e) < 1.47 `

8) a) Montrer que `f_(n+1)(x_n) > 0 `

b) En déduire que `(x_n)_(n>=2)` est décroissante

c) Montrer que `(x_n)` est convergente

9) a) Montrer que `1/n < x_n < 1/n((2e)/(1+e))`

b) En déduire la limite `lim_{ n to +infty} x_n ` puis montrer que `lim_{ n to +infty} nx_n = 1 `

10) a Montrer que ` forall n >= 2 :x_n <=x_2 `

b) En déduire que `lim_{ n to +infty} (x_n)^n `

... commentaire Proposer une solution
24 réponses

1) a) Calculer `lim_{ x to +infty} f_n(x) -nx +2 ` puis interpréter graphiquement le résultat obtenu



On a `lim_{ x to +infty} f_n(x) -nx +2 `

`= lim_{ x to +infty} (-2e^x)/(1+e^x) +nx -nx +2 `

`= lim_{ x to +infty} 2 [ 1 -e^x/(1+e^x) ] `

`= lim_{ x to +infty} 2 [ 1 -1/(1+e^(-x) ) ] `

`= 0 `

car `lim_{ x to +infty} e^(-x) = 0 => lim_{ x to +infty} 1/(1+e^(-x)) = 1 `



Interprétation graphique

on a `lim_{ x to +infty} f_n(x) -nx+2 = 0 <=> lim_{ x to +infty} f_n(x) -(nx-2)= 0 `

alors


...+ commentaire

1b) Montrer que la courbe `C_f` admet , au voisinage de `-infty` , une asymptote dont on déterminera son équation cartésienne



Premier cas si `n= 0 `

on a `lim_{ x to -infty} f_0(x)= lim_{ x to -infty} (-2e^x)/(1+e^x)= 0 `

Car `lim_{ x to -infty} e^x = 0 `

alors la droite `D_0 : y= 0 ` est une asymptote horizontale de la courbe `C_0 `

Deuxième cas si `n > 0 `

On a `lim_{ x to -infty} f_n(x)= lim_{ x to -infty} (-2e^x)/(1+e^x) +nx = -infty `

car `lim_{ n to -infty} e^x /(1+e^x) = 0 ` et `lim_{ x to -infty} nx = -infty ` car ` n > 0 `

on a `lim_{ n to -infty} (f_n(x))/x = lim_{ x to -infty} (-2e^x)/(x(1+e^x)) + n `

` = lim_{ x to -infty} (-2)/( x(1+e^(-x)) ) +n = n `

car `lim_{ x to -infty} (1+e^(-x)) = 1 ` et `lim_{ x to -infty} x = -infty => lim_{ x to -infty} (-2)/( x(1+e^(-x))) = 0 `

`=> lim_{ x to -infty} (f_n(x))/x = n `


on a `lim_{ x to -infty} f_n(x) -nx = lim_{ x to -infty} (-2e^x)/(1+e^x)= 0 ` car `lim_{ x to -infty} e^x = 0 `


alors la droite `D_n : y = nx ` est une asymptote de la courbe `C_f` au voisinage de `-infty `

Conclusion



...+ commentaire

2) Montrer que `f_n` est dérivable sur `R` et ` forall x in R : f'(x)= (-2e^x)/(1+e^x) + n `



on a ` x->e^x ` est dérivable et ne s'annule pas sur `R `

`=> x -> e^(-x)= 1/e^x` est dérivable sur `R `

`=> x-> 1+e^(-x) ` est dérivable et ne s'annule pas sur `R `



de plus `x->nx ` est polynomiale alors elle est dérivable sur `R`

par conséquent `f_n` est dérivable sur `R` comme somme des fonctions `x->nx ` et `x-> (-2e^x)/(1+e^x) ` qui sont dérivables sur `R `




soit ` x in R ` on a `f'(x) = ((-2e^x)/(1+e^x) + nx )' `

` = (-2e^x(1+e^x) -(1+e^x)'(-2e^x)) /(1+e^x)^2 +n `

` = (-2e^x -2e^(2x) +2e^(2x))/(1+e^x)^2 +n `

` = (-2e^x)/(1+e^x)^2 +n `

alors


...+ commentaire

2 b) Montrer que ` forall x in R : (4e^x)/(1+e^x)^2 <= 1 `



Soit ` x in R ` on a `1-(4e^x)/(1+e^x)^2 = ((1+e^x)^2 -4e^x )/(1+e^x)^2 `

` = (1+2e^x +e^(4x) -4e^x)/(1+e^x)^2 `

`= (1-e^x)^2/(1+e^x)^2 `

Puisque pour tout ` x in R ` : `(1-e^x)^2 >= 0 ` et `(1+e^x)^2 > 0 `

alors `1-(4e^x)/(1+e^x)^2 >= 0 `

Ainsi


...+ commentaire

2) c) En déduire les variations de `f_n`



on a ` forall x in R : f'(x)= (-2e^x)/(1+e^x)^2 + n `

Premier cas si `n= 0 `

alors `f'(x)= (-2e^x)/(1+e^x) < 0 ` car `e^x > 0 ` et `1+e^x > 0 `

ainsi la fonction `f_0 ` est strictement décroissante sur `R`

Deuxième cas si `n>= 1 `

Soit ` n >= 1 `

alors `(4e^x)/(1+e^x)^2 <= 1 <= n `

`=> (4e^x)/(1+e^x)^2 - ( 2e^x)/(1+e^x)^2 <= n + (-2e^x)/(1+e^x)^2 `

`=> (2e^x)/(1+e^x)^2 <= f'(x) `

`=> 0 < f'(x) ` car `e^x > 0 ` et `(1+e^x)^2 > 0 `

Ainsi les fonctions `f_n` ; ` n >= 1 ` sont strictement croissantes sur `R `

Conclusion



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3a) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe `C_f` au point d'abscisses `x= 0 `



l'équation de la tangente au point `(0, f_n(0))` est ` y =(f_n)'(0)(x-0) + f_n(0)`

on a `f_n(0)= (-2e^0)/(1+e^0)= -1 `

on a `(f_n)'(0) = (-2e^0)/(1+e^0)^2 + n = -1/2 +n `



...+ commentaire

3 b) Montrer que `I` est l'unique point d'inflexion de la courbe `C_f`



on a ` forall x in R : ` `f'(x) = (-2e^x)/(1+e^x)^2 +n `

on a `f'` est dérivable sur `R` et `f' '(x)= ((-2e^x)/(1+e^x)^2 +n )' `

` = ((-2e^x)'(1+e^x)^2 -((1+e^x)^2)'(-2e^x))/(1+e^x)^4 `

` = (-2e^x(1+e^x)^2 +4e^(2x)(1+e^x) ) /( 1+e^x)^4 `

` = (-2e^x(1+e^x) +4e^(2x) ) /( 1+e^x)^3 `

` = (-2e^(2x) -2e^x +4e^(2x) ) /( 1+e^x)^3 `

` = (2e^(2x) -2e^x ) /( 1+e^x)^3 `

` = (2e^(x) (e^x -1) ) /( 1+e^x)^3`

alors

On a `f' '(x)= 0 <=> (2e^(x) (e^x -1) ) /( 1+e^x)^3`

`<=> e^x -1 = 0 ` car `(2e^x)/(1+e^x)^3 ne 0 `

`<=> e^x = e^0 `

`<=> x = 0 `

alors

On a `f' '(x) >= 0 <=> (2e^(x) (e^x -1) ) /( 1+e^x)^3 >= 0 `

`<=> e^x -1 >= 0 ` car `(2e^x)/(1+e^x)^3 > 0 `

`<=> e^x >= e^0 `

`<=> x >= 0 `

alors `f' '(x) ` change de signe au point ` x= 0 ` : [ ` f ' '(x) >= 0 ; x >= 0 ` et `f' '(x) <= 0 ; x <= 0 ` ]

Conclusion

` f' ' ` s'annule en un seul point d'abscisse `x= 0 ` et change de signe :



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4) Tracer dans le meme repère les courbes `C_0 , C_2 `



la représentation de la courbe `C_0 `

l'asymptote au voisinage de `-infty` a pour équation ` y = 0 `

l'asymptote au voisinage de `+infty ` est ` y = -2 `

`I(1, 0) ` est un point d'inflexion l'équation de la tangente est `y = -x/2 -1 `

la représentation de la courbe `C_2 `

l'asymptote au voisinage de `-infty` a pour équation ` y = 2x `

l'asymptote au voisinage de `+infty ` est ` y = 2x -2 `

`I(1, 0) ` est un point d'inflexion l'équation de la tangente est ` y = 3/2x -1 `

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5 a) Calculer `A(t) ` pour tout ` t > 0 `



on a l unité de mesure `1u_a = abs(abs(vec(i)))*abs(abs(vec(j))) = 1*1cm^2 = 1 cm^2 `

on a `A(t)= int_0^t abs(f(x) -y) dx ` u_a

on a `int_0^t abs(f(x) -y) dx = int_0^t abs(f(x) -(nx -2) ) dx `

` = int_0^t abs( (-2e^x)/(1+e^x) +nx -nx +2 ) dx `

` = int_0^t abs( (-2e^x)/(1+e^x) +2 ) dx `

` = 2 int_0^t abs( 1 -e^x /(1+e^x) ) dx `

`= 2 int_0^t ( 1 -e^x/(1+e^x) ) dx ` car ` e^x < 1+e^x => e^x/(1+e^x) < 1 => 1-e^x/(1+e^x) > 0 `


`= 2 [ x - ln(1+e^x)]_0^t `

`= 2 [ t -ln(1+e^t) - 0 + ln(2) ] `

`= 2 ( t -ln(1+e^t) + ln2 ) `

alors


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5 b) Calculer `lim_{ t to +infty} A(t) `



On a `A(t)= 2 ( t -ln(1+e^t) + ln2 ) cm^2`

`= 2 ( t - ln(e^t (e^(-t) +1) + ln2) `

`= 2 ( t - lne^t -ln(1+e^(-t)) + ln2 ) `

`= 2 ( t- t -ln(1+e^(-t)) + ln2 ) `

`= 2 ( ln2 - ln(1+e^(-t))) `


on a `lim_{ t to +infty} e^(-t)= 0 ` et `ln` est continue en `1 ` alors `lim_{ t to +infty} ln(1+e^(-t)) = ln1 = 0 `

`=> lim_{ to +infty} 2 ( ln2 - ln(1+e^(-t))) = 2ln2 `



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6)a ) Montrer que l'équation `f_0(x)= x ` admet une solution unique ` alpha ` dans `R `



on pose `g(x)= f_0(x) -x `

on a `x-> f_0(x) ` est dérivable sur `R ` selon la question 2a) et `x-> x ` est dérivable sur `R` comme polynome

`=> x ->g(x) ` est dérivable sur `R` différence de deux fonctions dérivables



` g'(x)= - ( 1 + 2e^(-x)/(1+e^(-x))^2) < 0 `

alors

alors selon le théorème de la bijection

on a `lim_{ x to +infty} g(x)= lim_{ x to +infty} f_0(x) - x = lim_{ x to +infty} [ -2/(1+e^(-x)) - x ] = -infty `

car `lim_{ x to +infty} e^(-x)= 0 `

on a `lim_{ x to -infty} g(x)= lim_{ x to -infty} f_0(x) - x = lim_{ x to -infty} [ -2/(1+e^(-x)) - x ] = + infty `

car `lim_{ x to -infty} (1+e^(-x)) = +infty `

alors

Puisque ` 0 in g(R) ` alors ` exists ! alpha in R : g(alpha)= 0 `

c'est à dire ` exists ! alpha in R : f_0(alpha)= alpha`


...+ commentaire

6 b) Montrer que ` forall x in R : abs((f_0)'(x)) < = 1/2 `



on a ` forall x in R :(f_0)'(x)= (-2e^x)/(1+e^x)^2 `

soit ` x in R `

` abs(f_0(x)) = abs((-2e^x)/(1+e^x)^2) = 2 e^(x)/(1+e^x)^2 <= 1/2 ` selon la question 2b)
` (4e^x)/(1+e^x)^2 <= 1 `

alors



...+ commentaire

c) Montrer que ` forall n in N : abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/2 abs(u_n-alpha) `



Soit ` n in N `

On suppose que `u_n <= alpha ` meme raisonnement si `alpha <= u_n `

on a ` f ` est continue sur `[u_n , alpha]` car elle est continue sur `R `

`f` est dérivable sur `]u_n , alpha[` car `f` est dérivable sur `R`

` forall x in R : abs((f_0)'(x)) <= 1/2 `

alors selon l inégalité des accroissements finis ` abs(f(u_n) -f(alpha) ) <= 1/2 abs(u_n-alpha) `

Puisque `f(u_n) = u_(n+1) ` et `f(alpha)= alpha `

alors



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6 d) En déduire que ` forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/2)^n abs(alpha) `



Démonstration par récurrence : ` H_n : forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/2)^n abs(alpha) `

Initialisation

Pour ` n = 0 ` on a ` abs(u_0 -alpha) = abs(-alpha)= abs(alpha) <= (1/2)^0 abs(alpha) `

alors `H_0 ` est vraie

Hérédité

soit ` n in N ` fixe on suppose `H_n` est vraie montrons que `H_(n+1) ` est vraie

par hypothèse de récurrence on a ` abs(u_n -alpha) <= (1/2)^n abs(alpha)`

et selon la question 6c) on a ` abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/2 abs(u_n -alpha) `

` => abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/2 (1/2)^n abs(alpha)`

` => abs(u_(n+1) -alpha) <= (1/2)^(n+1) abs(alpha)`

`=> H_(n+1) ` est vraie

Conclusion

Selon le principe de la récurrence on déduit que ` forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/2)^n abs(alpha) `


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e) Montrer que `lim_{ n to +infty} u_n = alpha `



on a ` forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/2)^n abs(alpha) `

on a `lim_{ n to +infty} (1/2)^n = 0 ` car `abs(1/2) < 1 `

`=> lim_{ n to +infty} (1/2)^n abs(alpha)= 0 `

donc `lim_{ n to +infty} u_n = alpha `


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7) a) Montrer que pour tout ` n >= 2 ` l'équation `f_n(x)=0` admet une solution unique ` x_n `



on a selon la question partie 1) 2a) `f_n` est dérivable sur `R`

`=> f_n ` est continue sur `R`

on a selon la question partie 1) 2a) `f_n` est strictement croissante sur `R`

alors selon le théorème de la bijection `f_n` réalise une bijection de `R` sur `f (R) = ]lim_{ x to -infty} f_n (x) , lim_{ x to +infty} f_n(x) [ = ]-infty , +infty[ `

comme `0 in f_n(R) ` alors `exists ! x_n in R : f_n(x_n)= 0 `



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7 b) Montrer que `0 < x_n < 1 ` on donne ( `(2e)/(1+e) < 1.47 `



on a `f_n(0)= (-2)/(1+1) + 0 = -1 `

on a `f_n(1)= (-2e)/(1+e) + n `

on a ` (-2e)/(1+e) > -1,47 `

Puisque ` n >= 2 ` alors `(-2e)/(1+e) + n > 2 -1,47 > 0 `

alors ` f_n(0) < 0 < f_n(1) `

c'est à dire `f_n(0) < f_n(x_n) < f_n(1) `

et par conséquent ` 0 < x_n < 1` car `f_n` est continue et strictement croissante sur `R `


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8) a) Montrer que `f_(n+1)(x_n) > 0 `



on a `f_(n+1)(x_n)= (-2e^x)/(1+e^x) + (n+1) x_n `

` = f_n(x_n) + x_n`

`= x_n ` car `f_n(x_n) = 0 `

Or `x_n > 0 `

alors `f_(n+1)(x_n) > 0 `


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8b) En déduire que `(x_n)_(n>=2)` est décroissante



on a `f_(n+1)(x_n) > 0 `

alors `f_(n+1)(x_n) > f_(n+1)(x_(n+1)) `

Or `f_(n+1) ` est continue et strictement croissante

alors `x_n > x_(n+1) `

Ainsi la suite `(x_n)_(n >= 2) ` est décroissante



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8c) Montrer que `(x_n)_(n >= 2) ` est convergente



la suite `(x_n)_(n>=2)` est décroissante et minorée par `0` alors elle est convergente


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9) a) Montrer que `1/n < x_n < 1/n((2e)/(1+e))`



on a `f_n(1/n)= (-2e^(1/n))/(1+e^(1/n)) + 1 = ( 1-e^(1/n))/(1+e^(1/n)) `

Puisque `0 < 1/n ` alors `e^0 < e^(1/n) `

`=> 1 -e^(1/n) < 0 `

alors



on a `f_n(1/n((2e)/(1+e)) )= (-2e^(c))/(1+e^c) + (2e)/(1+e) ` avec `c= 1/n((2e)/(1+e)) `

` = 2 ( 1/(1+e^(-1)) - 1 /(1+e^(-c))) `

Puisque ` c < 1 ` car ` 0 < 2/n <= 1 ` et `0 < e/(1+e) < 1 `

` => e^(-c) > e^(-1) => 1+e^(-c) > 1+e^(-1) `

`=> 0 < 2 ( 1/(1+e^(-1)) - 1 /(1+e^(-c)))`



On déduit que `f_n( 1/n) < 0 < f_n(1/n((2e)/(1+e)) ) `

c'est à dire `f_n( 1/n) < f_n(x_n) < f_n(1/n((2e)/(1+e)) ) `

`=> 1/n < x_n < 1/n((2e)/(1+e)) ` car `f_n` est continue et strictement croissante

alors


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b) En déduire la limite `lim_{ n to +infty} x_n ` puis montrer que `lim_{ n to +infty} nx_n = 1 `



on a `=> forall n >= 2 : 1/n < x_n < 1/n((2e)/(1+e)) `

on a `lim_{ n to +infty} 1/n = 0 ` et `lim_{ n to +infty} 1/n((2e)/(1+e)) = 0 `

alors

d'autre part on a `f_n(x_n)= 0 <=> (-2e^(x_n))/(1+e^(x_n)) + nx_n = 0 `

`<=> nx_n = (2e^(x_n))/(1+e^(x_n))`

alors `lim_{ n to +infty} nx_n = lim_{ n to +infty} (2e^(x_n))/(1+e^(x_n)) = (2e^0)/(1+e^0 )= 2/2 = 1 `

Car `lim_{ n to +infty} x_n = 0 ` et ` x->e^x` est continue en `0 `



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10a) Montrer que ` forall n >= 2 : x_n <= x_2 `



la suite `(x_n)` est décroissante

`=> forall n >= 2 :x_n <= x_2 `


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10b) En déduire `lim_{ n to +infty} (x_n)^n `




on a ` forall n >= 2 : 0 < x_n <= x_2 `

`=> 0 < (x_n)^n <= (x_2)^n ` car `x-> x^n ` est croissante sur `[0,+infty[ `

`=> abs((x_n)^n) <= (x_2)^n `

on a `lim_{ n to +infty} (x_2)^n = 0 ` car `abs(x_2) < 1 `

alors


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