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Exercice

Session normale 2021

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 1/2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= (u_n)/(3-2u_n) `

1) Calculer `u_1 `

2) En utilisant la récurrence montrer que ` forall n in N : 0 < u_n <= 1/2 `

3a) Montrer que ` forall n in N : (u_(n+1))/u_n <= 1/2 `

b) En déduire la monotonie de la suite `(u_n) `

4a) Montrer que ` forall n in N : 0 < u_n <= (1/2)^(n+1) ` , puis en déduire `lim_{ n to +infty} u_n `

b) pour tout ` n in N ` on pose `v_n = ln(3-2u_n) ` , calculer `lim_{ n to +infty} v_n `

5a) Vérifier que ` forall n in N : 1/u_(n+1) -1 = 3(1/u_n -1) `

b) En déduire `(u_n)` en fonction de `n `

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8 réponses

1) Calculer `u_1 `



on a `u_1 = (u_0)/(3-2u_0) = (1/2)/( 3 -2*1/2) = (1/2)/(2)= 1/4 `





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2) En utilisant la récurrence montrer que ` forall n in N : 0 < u_n <= 1/2 `



Initialisation pour ` n = 0 ` on a `u_0 = 1/ 2 `

Puisque ` 0 < 1/2 <= 1/2 `

`=> 0 < u_0 <= 1/2 `

Hérédité soit ` n in N ` on suppose que `0 < u_n <= 1/2 ` montrons que `0 < u_(n+1) <= 1/2 `

on a ` 0 < u_n <= 1/2 ` par hypothèse de récurrence

`=> 0 < 2u_n <= 2/2= 1 < 3 `

`=> 3 -2u_n > 0 ` et puisque `u_n > 0 `

`=> u_n/(3-2u_n) > 0 `



on a `1/2 -u_(n+1)= 1/2 - u_n/(3-2u_n)= (3-2u_n -2u_n)/(2(3-2u_n)) `

` = (3-4u_n)/(2(3-2u_n))`

on a `2(3-2u_n) > 0 `

on a `u_n <= 1/2 ` par hypothèse de récurrence

`=> 4u_n <= 4/2= 2 < 3 `

`=> 3-4u_n >= 0 `

` => (3-4u_n)/(2(3-2u_n)) >= 0 `

`=> 1/2 -u_(n+1) >= 0 `



de (*) et (**) on déduit que

Conclusion

selon le principe de la récurrence on déduit que ` forall n in N : 0 < u_n <= 1/2 `


...+ commentaire

3a) Montrer que ` forall n in N : (u_(n+1))/u_n <= 1/2 `



on a ` forall n in N : u_(n+1)= (u_n)/(3-2u_n) `

`=> u_(n+1)/u_n = 1/(3-2u_n) ` car `u_n ne 0 `

`=> 1/2 - u_(n+1)/u_n = 1/2 - 1/(3-2u_n) `

` = (3-2u_n -2)/(2(3-2u_n)) = (1-2u_n)/(2(3-2u_n)`

on a ` 2(3-2u_n) > 0 ` et ` u_n <= 1/2 => 2u_n <= 1 => 1-2u_n >= 0 `

`=> (1-2u_n)/(2(3-2u_n) ) >= 0 `

`=> 1/2 - u_(n+1)/u_n >= 0 `

`=> (u_(n+1))/u_n <= 1/2 `



...+ commentaire

3b) En déduire la monotonie de la suite `(u_n) `



on a ` forall n in N : (u_(n+1))/u_n <= 1/2 < 1 `

alors `u_(n+1)/u_n *u_n < u_n ` car `u_n > 0 `

`=> u_(n+1) < u_n `

la suite `(u_n)` est décroissante



...+ commentaire

4a) Montrer que ` forall n in N : 0 < u_n <= (1/2)^(n+1) ` , puis en déduire `lim_{ n to +infty} u_n `



On a montré que ` forall n in N : 0 < u_n ` alors il suffit de montrer que ` forall n in N : u_n <= (1/2)^(n+1) `

Montrons par récurrence que ` forall n in N : u_n <= (1/2)^(n+1) `

Initialisation pour ` n = 0 ` on a `u_0 = 1/2 <= (1/2)^(0+1) `

Hérédité soit `n in N ` on suppose que `u_n <= (1/2)^(n+1) `

Montrons que `u_(n+1) <= (1/2)^(n+2) `

on a selon 3a) `u_(n+1)/u_n <= 1/2 `

`=> u_(n+1) <= 1/2u_n ` car `u_n > 0 `

on par hypothèse de récurrence `u_n <= (1/2)^(n+1) `

`=> u_(n+1) <= 1/2 (1/2)^(n+1) `

`=> u_(n+1) <= (1/2)^(n+2) `

Conclusion

Selon le principe de la récurrence on déduit que ` forall n in N : u_n <= (1/2)^(n+1) `

Alors



`=> forall n in N : abs(u_n) <= (1/2)^(n+1)`

on a `lim_{ n to +infty} (1/2)^(n+1)= lim_{ n to +infty} 1/2 (1/2)^n = 0 ` car `abs(1/2) < 1 `

Alors


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4b) pour tout ` n in N ` on pose `v_n = ln(3-2u_n) ` , calculer `lim_{ n to +infty} v_n `



On a `lim_{ n to +infty} u_n = 0 `

`=> lim_{ n to +infty} (3-2u_n)= 3 `

Or `x-> lnx ` est continue en 3





...+ commentaire

5a) Vérifier que ` forall n in N : 1/u_(n+1) -1 = 3(1/u_n -1) `



on a `forall n in N : u_(n+1)= u_n/(3-2u_n) `

`=> 1/(u_(n+1)) = (3-2u_n)/u_n = 3/u_n -2(u_n/u_n) = 3/u_n -2 `

`=> 1/(u_(n+1)) -1 = 3/u_n -2 -1 = 3/u_n -3 = 3(1/u_n -1) `

alors


...+ commentaire

5 b) En déduire `(u_n)` en fonction de `n `



On pose `w_n = 1/u_n -1 `

Puisque ` forall n in N : 1/(u_(n+1)) -1 = 3(1/u_n -1) `

`=> w_(n+1)= 3 w_n `

alors la suite `(w_n)` est géométrique de raison `q= 3 `

`=> w_n = 3^n *w_0 `

on a `w_0 = 1/u_0 -1 = 1/(1/2) -1 = 2-1 = 1 `

`=> w_n = 3^n `

`=> 1/u_n -1 = 3^n `

`=> 1/u_n = 3^n +1 `

`=> u_n = 1/(1+3^n) `

alors


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