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$$ \text{Calculer les limites suivantes: } $$
$$ \lim_{ x\to 0 } { \frac{\sqrt[3]{x+1} -1}{\sqrt[4]{x+1}-1}} $$
$$ \lim_{ x \to+\infty}{\sqrt[3]{x^3+x} -x } $$
$$ \lim_{ x \to+\infty}{\sqrt{x^2+1} -\sqrt[3]{x^2+1} } $$
2
réponses
2
Calculons
$$ \lim_{ x \to+\infty}{\sqrt[3]{x^3+x} -x } $$
`ast `
`a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2) `
` ast `
` a-b = (a^3-b^3)/(a^2+ab+b^2)`
on a
$$ \lim_{ x \to+\infty}{\sqrt[3]{x^3+x} -x } $$
$$ = \lim_{ x \to+\infty}{\sqrt[3]{x^3+x} -\sqrt[3]{x^3} } $$
$$ = \lim_{ x \to+\infty} \frac{x^3+x-x^3} { (\sqrt[3]{x^3+x})^2 + (\sqrt[3]{x^3+x}) (\sqrt[3]{x^3})+ (\sqrt[3]{x^3})^2} $$
$$ = \lim_{ x \to+\infty} \frac{ x} { (\sqrt[3]{x^3+x})^2 + (\sqrt[3]{x^3+x}) (\sqrt[3]{x^3})+ (\sqrt[3]{x^3})^2} $$
$$ = \lim_{ x \to+\infty} \frac{ x} { (x \sqrt[3]{1+\frac{1}{x^2}})^2 + x^2(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^2}}) + x^2 } $$
$$ = \lim_{ x \to+\infty} \frac{ 1} { x [ ( \sqrt[3]{1+\frac{1}{x^2}})^2 + (\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^2}}) + 1] } = 0 $$
$$ \lim_{ x \to+\infty}{\sqrt[3]{x^3+x} -x } = 0 $$
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