On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= x^2 -2abs(x) `

1 Vérifier que `f` est paire

2 Montrer que `f` est décroissante sur `[0,1]` est croissante sur `[1,+infty[`

3 En déduire la monotonie de `f` sur chacun des intervalles `[-1,0] ` et `]-infty , -1]`

4 Dresser le tableau des variations de `f` sur `R`

1 Vérifier que `f` est paire

On a `D_f = R ` alors pour tout ` x in R ` on a ` -x in R `

on a `f(-x)= (-x)^2 -2abs(-x) = x^2 -2abs(x) = f(x) `

alors `f` est paire

2 Montrer que `f` est décroissante sur `[0,1]` est croissante sur `[1,+infty[`

soit ` x >= 0 ` et ` y >= 0 ` tels que ` x ne y `

alors `f(x)=x^2 -2x ` car `abs(x)=x ` pour tout `x >= 0 `

On a `T(x,y)= (f(x) -f(y))/(x-y) `

` = (x^2-2x -(y^2-2y))/(x-y) `

` = (x^2-y^2 -2x+2y )/(x-y) `

` = ((x-y)(x+y) -2(x-y) )/(x-y) `

` = ((x-y)(x+y-2))/(x-y) `

` = x+y -2 `

alors `=> T(x,y)= x+y -2 `

Monotonie de `f` sur `[0,1]`

soit ` x in [0,1]` et ` y in [0,1]`

`=> x<= 1 ` et ` y <= 1 `

`=> x+y <= 2 `

`=> x+y -2 <= 0 `

`=> T(x,y) <= 0 `

alors `f` est décroissante sur `[0,1]`

Monotonie de `f` sur `[1,+infty[`

soit ` x> = 1 ` et ` y >= 1 `

`=> x+y >= 2 `

`=> x+y -2 >= 0 `

`=> T(x,y) >= 0 `

alors `f` est croissante sur `[1,+infty[`

3 En déduire la monotonie de `f` sur chacun des intervalles `[-1,0] ` et `]-infty , -1]`

on a `f` est paire puisque elle est :

décroissante sur `[0,1]` alors elle est croissante sur `[-1,0]`

croissante sur `[1,+infty[` alors elle est décroissante sur `]-infty, -1]`