1) Montrer que la fonction `g` admet une fonction réciproque `g^(-1) ` définie sur un intervalle `J` à déterminer
On pose ` f_1 : x-> 1 -2sqrt(x) ` et `f_2 : x->x^3 `
On a pour tout ` x in ]0,1/4[ : g(x)= f_2of_1(x)`
on a ` f_1 : x-> 1 -2sqrt(x) ` dérivable sur `]0,1/4[ ` et strictement décroissante car `(f_1)'(x)= (1-2sqrt(x))' = -1/(sqrt(x)) < 0 ` pour tout ` x in ]0,1/4[`
On a `f_1 ]0,1/4[ subset ]0,1[ `
Or `f_2 : x->x^3 ` est dérivable `]0,+infty[`
alors `g = f_2of_1` est dérivable sur `]0,1/4[` donc elle est continue sur `I`
de plus pour tout ` x in I : g'(x)= `
` ((1-2sqrt(x))^3)'`
` = 3(1-2sqrt(x))'(1-2sqrt(x))^2 `
` = 3( -2/(2sqrt(x)))(1-2sqrt(x))^2 `
` = -3 xx(1-2sqrt(x))^2/(sqrt(x)) `
` -3/(sqrt(x)) ( 1-2sqrt(x))^2`
`=> forall x in ]0,1/4[ : g'(x) < 0 `
alors `g` est continue et strictement décroissante sur `I`
donc selon le théorème de la fonction réciproque `g` admet une fonction réciproque définie sur ` J = g ]0,1/4[ = ] lim_{ x to (1/4)^-} g(x), lim_{ x to 0^+} g(x) [ `
on a ` lim_{ x to (1/4)^-} g(x) = lim_{ x to (1/4)^-} (1-2sqrt(x))^3 = (1 -2sqrt(1/4))^3 = 0 `
et ` lim_{ x to 0^+} g(x) = lim_{ x to 0^+} (1-2sqrt(x))^3 = (1 -2sqrt(0))^3 = 1`
`=> J = ]0, 1[ `
Ainsi `g` admet une fonction réciproque définie sur `J= ]0,1[ `
Avez vous une question
2) Calculer `g(1/(16))` et en déduire la valeur de `(g^(-1))'(1/8) `
on a `g(1/(16)) = (1-2sqrt(1/(16)))^3 = (1 -2/4)^3 = 1/2^3= 1/8 `