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Exercice
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2 réponses

1) Montrer que la fonction `g` admet une fonction réciproque `g^(-1) ` définie sur un intervalle `J` à déterminer



On pose ` f_1 : x-> 1 -2sqrt(x) ` et `f_2 : x->x^3 `

On a pour tout ` x in ]0,1/4[ : g(x)= f_2of_1(x)`

on a ` f_1 : x-> 1 -2sqrt(x) ` dérivable sur `]0,1/4[ ` et strictement décroissante car `(f_1)'(x)= (1-2sqrt(x))' = -1/(sqrt(x)) < 0 ` pour tout ` x in ]0,1/4[`

On a `f_1 ]0,1/4[ subset ]0,1[ `

Or `f_2 : x->x^3 ` est dérivable `]0,+infty[`

alors `g = f_2of_1` est dérivable sur `]0,1/4[` donc elle est continue sur `I`

de plus pour tout ` x in I : g'(x)= `
` ((1-2sqrt(x))^3)'`

` = 3(1-2sqrt(x))'(1-2sqrt(x))^2 `

` = 3( -2/(2sqrt(x)))(1-2sqrt(x))^2 `

` = -3 xx(1-2sqrt(x))^2/(sqrt(x)) `


` -3/(sqrt(x)) ( 1-2sqrt(x))^2`

`=> forall x in ]0,1/4[ : g'(x) < 0 `


alors `g` est continue et strictement décroissante sur `I`
donc selon le théorème de la fonction réciproque `g` admet une fonction réciproque définie sur ` J = g ]0,1/4[ = ] lim_{ x to (1/4)^-} g(x), lim_{ x to 0^+} g(x) [ `

on a ` lim_{ x to (1/4)^-} g(x) = lim_{ x to (1/4)^-} (1-2sqrt(x))^3 = (1 -2sqrt(1/4))^3 = 0 `

et ` lim_{ x to 0^+} g(x) = lim_{ x to 0^+} (1-2sqrt(x))^3 = (1 -2sqrt(0))^3 = 1`

`=> J = ]0, 1[ `

Ainsi `g` admet une fonction réciproque définie sur `J= ]0,1[ `


Avez vous une question

2) Calculer `g(1/(16))` et en déduire la valeur de `(g^(-1))'(1/8) `



on a `g(1/(16)) = (1-2sqrt(1/(16)))^3 = (1 -2/4)^3 = 1/2^3= 1/8 `



Calculons `(g^(-1))'(1/8) `

On a `(g^(-1))'(1/8) = 1/(g'(g^(-1)(1/8)) `

On a `g^(-1)(1/8)= 1/(16) `


alors `g'(1/(16)) = -3xx(1 -2sqrt(1/(16)))^2/(sqrt(1/(16))) = -3 xx(1/2)^2/(1/4) = -3 `

comme ` g'(1/(16)) ne 0 `

alors `(g^(-1))'(1/8) = 1/(g'(1/(16))) = 1/(-3) = - 1/3 `



Avez vous une question


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