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Exercice
On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= 3u_n -6 `

Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n < 3 `
1 réponses
Pour tout ` n in N ` on pose ` P(n) : u_n < 3 `

Initialisation

pour ` n = 0 ` on a ` u_0 = 2 `

alors ` u_0 < 3 `

`=> P(0) ` est vraie

Hérédité

soit ` n in N ` supposons ` P(n) : u_n < 3 `

Montrons `P(n+1) : u_(n+1) < 3 `

on a par hypothèse de récurrence ` u_n < 3 `

`=> 3u_n < 9 `

`=> 3u_n -6 < 9 -6 `

`=> 3u_n -6 < 3 `

`=> u_(n+1) < 3 `

`=> P(n+1)` est vraie

Conclusion

alors selon le principe de récurrence on déduit que `( forall n in N ) : u_n < 3 `

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