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Exercice
Soit `(u_n)` la suite définie par `u_0= 1 ` et `( forall n in N ) : u_(n+1)= 2u_n +1 `

1) Calculer ` u_1 , u_2, u_3, u_4 `

2) Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n= 2^(n+1) -1 `
2 réponses

1) Calculer ` u_1 , u_2, u_3, u_4 `



On a ` u_1 = 2u_0 +1 = 2xx1+1 = 3 `

` u_2 = 2u_1 + 1 = 2xx3 +1 = 7 `

`u_3 = 2u_2 +1 = 2xx7 +1 = 15 `

`u_4 = 2u_3 +1 = 2xx15+1 = 31 `


Avez vous une question

2) Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n= 2^(n+1) -1 `



Initialisation

Pour ` n = 0 ` on a ` u_0 = 1 ` et ` 2^(0+1) -1 = 2 -1 = 1 `

alors ` u_0 = 2^(0+1) -1 `

Hérédité

soit ` n in N ` fixe supposons que `u_n = 2^(n+1) -1 ` montrons que `u_(n+1)=2^(n+2) -1 `

on a selon l hypothèse de récurrence `u_n = 2^(n+1) -1 `

`=> u_(n+1)= 2u_n +1 = 2(2^(n+1) -1) +1 `

` = 2^(n+2) -2 +1 `

` = 2^(n+2) -1 `

alors ` u_(n+1)= 2^(n+2) -1 `

Conclusion

selon le principe de la récurrence on déduit que `( forall n in N ) : u_n = 2^(n+1) -1 `

Avez vous une question
Questions et Réponses 1
Z C0 2024-03-01
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