Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 1/2 ` et `( forall n in N ) : u_(n+1)= (2u_n)/(1+u_n^2) `

1) Calculer ` u_1 , u_2 `

2) Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : 0 <= u_n <= 1 `

3
a) Montrer que la suite `(u_n)` est croissante

b) En déduire que `( forall n in N ) : 1/2 <= u_n `

1) Calculer ` u_1 , u_2 `

Calculons `u_1 `

On a ` u_1 = u_(0+1)= (2u_0)/(1+u_0^2) `

` = (2xx1/2)/(1+(1/2)^2) `

` = 1/( 1+1/4) = 4/5 `

` u_1 = 4/5 `

Calculons `u_2 `

On a ` u_2 = u_(1+1)= (2u_1)/(1+u_1^2) `

` = (2xx4/5)/( 1+(4/5)^2) `

` = (8/5)/( (41)/(25))= (8xx5)/(41)= (40)/(41) `

`u_2 = (40)/(41) `

2) Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : 0 <= u_n <= 1 `

Initialisation

Pour ` n = 0 ` on a ` u_0 = 1/2 `

`=> 0 <= u_0 <= 1 `

Hérédité

soit ` n in N ` fixe on suppose que ` 0 <= u_n <= 1 ` montrons que ` 0 <= u_(n+1) <= 1 `

Puisque ` 1+u_n^2 > 0 `

et ` u_n >= 0 ` selon l'hypothèse de récurrence

`=> (2u_n) /(1+u_n^2) >= 0 `

`=> 0 <= u_(n+1) `

On a ` 1-u_(n+1)= 1 -(2u_n)/(1+u_n^2) `

` = (u_n^2 -2u_n +1) /(1+u_n^2) `

` = (u_n -1)^2/(1+u_n^2) `

Puisque ` (u_n -1)^2/(1+u_n^2) >= 0 `

alors ` 1-u_(n+1) >= 0 `

`=> u_(n+1) <= 1 `


On déduit que ` 0 <= u_(n+1) <= 1 `

Conclusion

selon le principe de la récurrence on déduit que ` ( forall n in N ) : 0 <= u_n <= 1 `

3a) Montrer que la suite `(u_n)` est croissante

Méthode 1

On a ` u_(n+1) -u_n = (2u_n)/(1+u_n^2) -u_n `

` = (2u_n -u_n -u_n^3)/(1+u_n^2) `

` = (u_n -u_n^3)/(1+u_n^2) `

` = (u_n(1+u_n)(1-u_n))/(1+u_n^2) `

Puisque ` 0 <= u_n <= 1 ` alors ` 1-u_n >= 0 ` et ` 1+u_n >= 0 ` et ` u_n >= 0 `

`=> (u_n(1+u_n)(1-u_n))/(1+u_n^2) >= 0 `

`=> u_(n+1) -u_n >= 0 `

et par suite la suite `(u_n) ` est croissante

Méthode 2 :

On a ` u_(n+1) -u_n = (2u_n)/(1+u_n^2) - u_n `

` = u_n ( 2/(1+u_n^2) -1) `

Puisque ` 1+u_n^2 <= 2 `

` => 1 <= 2/(1+u_n^2) `

`=> 0 <= 2/(1+u_n^2) -1 `

` => 0 <= u_n ( 2/(1+u_n^2) -1) ` car ` 0 <= u_n `

`=> u_(n+1) -u_n >= 0 `

et par suite la suite `(u_n)` est croissante

3b) En déduire que `( forall n in N ) : 1/2 <= u_n `

Puisque la suite `(u_n)` est croissante alors ` forall n >= 0 : u_n >= u_0 = 1/2 `

`=> ( forall n in N ) : 1/2 <= u_n `