Soit ` z = x+iy ` un nombre complexe tel que `(x,y) in R^2 `

Déterminer tous les nombres complexes dans chacun des cas suivants :

1 ` iz^2 in R `

2 `z^2 +z+1 in R `

3 `(1-iz)/(1+z) in iR `

4 `(z-1)/(iz) in iR `

5 `(3+iz)/((1+i)z -1) in R `

1 Déterminer les nombres complexes pour lesquels ` iz^2 in R `

Soit ` z = x+iy ` un nombre complexe tel que `(x,y) in R^2 `

on a ` iz^2 = i(x+iy)^2 = i (x^2 -y^2 + 2ixy) `

` = -2xy + i(x^2-y^2) `

` iz^2 in R <=> Im(iz^2)= 0 <=> x^2-y^2 = 0 `

`<=> (x-y)(x+y)= 0 `

`<=> x-y = 0 ` ou ` x +y = 0 `

`<=> y = x ` ou ` y = -x `

`<=> z = x+ix = (1+i) x ` ou ` z = x -ix = (1-i)x `

donc l'ensemble des nombres complexes est `{ (1+i) x , x in R } cup { (1-i)x ; x in R } `

2 Déterminer les nombres complexes pour lesquels `z^2 +z+1 in R `

Soit ` z = x+iy ` un nombre complexe tel que `(x,y) in R^2 `

on a `z^2 +z+1 = (x+iy)^2 +(x+iy) +1 `

` = x^2-y^2 +2ixy + x + iy +1 `

` = x^2 -y^2 +x +1 + i(2xy + y ) `

alors `z^2 +z+1 in R <=> Im(z^2+z+1)= 0 `

`<=> (2xy+y )= 0 `

`<=> y (2x+y)= 0 `

`<=> y = -2x ` ou ` y = 0 `

`<=> z = x -2x i = (1-2i) x ` ou ` z = x `

donc l'ensemble des nombres complexes est ` E= { (1 -2i)x ; x in R } cup { x ; x in R } `

3 Déterminer les nombres complexes pour lesquels `(1-iz)/(1+z) in iR `

soit ` z = x+iy ` un nombre complexe tel que `(x, y) in R^2 ` et ` 1+z ne 0 `

on a `(1-iz)/(1+z) `

`= (1-i(x+iy))/(1+x +iy) `

`= (1-ix+y)/(1+x +iy) `

`= ((1+y-ix)( 1+x -iy))/((1+x)^2 +y^2) `

`= ( (1+y)(1+x) -iy(1+y) -ix(1+x) -xy )/((1+x)^2 +y^2) `

`= ( 1+x +y +xy -i (y(1+y)+x(1+x) ) -xy )/((1+x)^2 +y^2) `

`= ( 1+x +y -i (y(1+y)+x(1+x) ) )/((1+x)^2 +y^2) `

`= ( 1+x +y)/((1+x)^2 +y^2) -i (y(1+y)+x(1+x) )/((1+x)^2 +y^2) `

alors ` (1-iz)/(1+z) in iR <=> ( 1+x +y)/((1+x)^2 +y^2) = 0 `

`<=> 1+x+y = 0 ` et `(1+x)^2 +y^ 2 ne 0 `

`<=> 1+x+y = 0 ` et `(x, y) ne (-1, 0) `

donc `E= { x +iy ;text{ tel que } 1+x+y = 0 text{ et } (x, y) ne(-1, 0 ) } `

4 Déterminer l'ensemble des nombres complexes tels que `(z-1)/(iz) in iR `

Soit ` z in C^(ast) ; z = x+iy ; (x, y) in R^2 `

On a `(z-1)/(iz) = (x+iy -1)/( i(x+iy)) `

` = (x-1 + iy )/( -y + ix) `

` = ((x-1+iy)(-y -ix))/(y^2+x^2) `

` = ( -y(x-1) +xy +i(-y^2-x(x-1)))/(y^2+x^2) `

` = y/(x^2+y^2) +i(-y^2-x(x-1))/(y^2+x^2) `

alors `(z-1)/(iz) in iR `

`<=> y/(x^2+y^2) = 0 `

`<=> y = 0 ` et `x^2+y^2 ne 0 `

`<=> y = 0 ` et `(x, y) ne(0,0) `

alors `E= { ix ; x in R^(ast) } `