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Exercice

1) a) Démontrer que , pour tout ` n in N ` `2^(3n) -1 ` est un multiple de ` 7 `

b) En déduire que `2^(3n+1) -2 ` est un multiple de ` 7 ` et que `2^(3n+2) -4 ` est un multiple de ` 7 `

2) Déterminer les restes de la division euclidienne par ` 7 ` de `2^n `

3) Pour tout ` p in N ` on considère le nombre `A_p = 2^p +2^(2p) + 2^(3p) `

a) si `p =3n` quel est le reste de division euclidienne de `A_p` par ` 7 `

b ) Démontrer que si ` p =3n+1 ` alors ` 7 ` / ` A_p `

c) étudier le cas ou ` p =3n+2 `

4) On considère les nombres `a ` et `b` écrits dans le système binaire : `a = bar(1001001000)_(2) ` et `b = bar(1000100010000)_(2) `

a) Vérifier que ces deux nombres sont de la forme `A_p`

b) `a` et `b` sont ils divisibles par `7` justifier

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