On dispose de deux urnes :
- `u_1` contient ` 7 ` boules noires et `3` boules vertes

- `u_2` contient ` 2 ` boules noires et `8` boules vertes

On effectue une suite de tirage en remettant à chaque fois la boule tirée dans l'urne suivant la règle suivante :

si au `(n-1)^(ième)` tirage on a obtenu une boule noire alors le `n^(ième) ` tirage s'effectue dans `u_1`

si au `(n-1)^(ième)` tirage on a obtenu une boule verte alors le `n^(ième) ` tirage s'effectue dans `u_2`

1 On choisit une urne au hasard et on fait le premier tirage .

Déterminer la probabilité `p_1` d'obtenir une boule noire

2

On désigne par `p_n` la probabilité de tirer une boule noire au `n^(ième)` tirage

a) Calculer `p_2 `

b) Montrer que ` forall n >= 2 : p_n = 1/2p_(n-1) +1/5 `

3
a) Montrer que la suite `(q_n)` définie par `q_n = p_n -2/5 ; n >= 1 ` est une suite géométrique

b) Déterminer `p_n` en fonction de `n ` puis calculer `lim_{ n to +infty} p_n `