Exercice 1 BAC 2022

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Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct `(O ,vec(i) , vec(j) ,vec(k))` on considère les points `A(0,1,1) ` , `B(1,2,0) ` , `C(-1,1,2)`

1)a) Montrer que $$ \vec{AB} \land \vec{AC} = \vec{i} + \vec{k} $$

b) En déduire que `x+z-1 = 0` est une équation cartésienne du plan `(ABC) `

2) Soit `S` la sphère de centre `Omega(1,1,2) ` et de rayon `R = sqrt(2) `

Déterminer une équation cartésienne de la sphère `S`

3) Montrer que le plan `(ABC)` est tangent à la sphère `S ` au point `A`

4) On considère la droite `(Delta) ` passant par `C` et perpendiculaire au plan `(ABC) `

a) Déterminer une représentation paramétrique de `(Delta) `

b) Montrer que la droite `(Delta) ` est tangente à la sphère `(S) ` en un point `(D) ` dont on déterminera les coordonnées

c) Calculer le produit scalaire `vec(AC).( vec(i) +vec(k)) ` , puis en déduire la distance `d(A, (Delta)) `