Exercice 2 BAC 2022

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Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(u) , vec(v))` on considère le point `A ` d'affixe `a=-1-isqrt(3) ` et `B` le point d'affixe ` b = -1 +isqrt(3) ` et `t` la translation de vecteur `vec(OA)`

1) Prouver que l'affixe du point `D` image du point `B ` par la translation `t ` est `d= 2 `

2) On considère la rotation `R ` de centre `D` et d'angle `(2pi)/3 `

Montrer que l'affixe du point `C ` image du point `B` par la rotation `R ` est `c= -4 `

3a) Ecrire le nombre complexe `(b-c)/(a-c) ` sous sa forme trigonométrique

b) En déduire que `((b-c)/(a-c))^2 = (c-d)/(b-d)`

4) Soit `Gamma ` le cercle de centre `(D) ` et de rayon `R=2` , `Gamma'` le cercle de centre `O` et de rayon `R= 4` et `M(z)` un point d'affixe `z` appartenant aux deux cercles `Gamma ` et `Gamma' `

a) Vérifier que `abs(z+2)=2`

b) Prouver que `z+bar(z)= -8` remarque que `abs(z)= 4`

c) En déduire que les de eux cercles `Gamma ` et `Gamma' ` se coupent en un unique point à déterminer