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Exercice

Problème 4 bac 2022


On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= x(e^(x/2)-1)^2 ` et `C_f ` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))` , `abs(abs(vec(i))) = 1cm `

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` , `lim_{ x to -infty} f(x) `

2) Calculer `lim_{ x to +infty} (f(x))/x` et interpréter géométriquement le résultat

3)a) Montrer que la droite `(Delta) : y = x ` est asymptote à la courbe `C_f ` au voisinage de `-infty `

b) Etudier le signe de `(f(x) -x)` sur `R` et en déduire la position relative de la droite `(Delta)` et la courbe `(C_f) `

4) a) Montrer que pour tout ` x in R : f'(x)= (e^(x/2)-1)^2 + xe^(x/2)(e^(x/2) -1) `

b) Vérifier que pour tout ` x in R : x(e^(x/2) -1) >= 0 ` puis déterminer le signe de `f'(x) ` sur `R `

c) Dresser le tableau des variations de `f` sur `R `

5a) Montrer que ` forall x in R : f''(x)= 1/2e^(x/2)g(x) ` avec `g(x)= (2x+4)e^(x/2) -x-4 ; x in R `

b) à partir de la courbe `C_g ` déterminer le signe de `g(x) ` sur `R ` ( Remarquer que `g(alpha)= 0` )


c) Etudier la concavité de la courbe `C_f` puis donner les abscisses des deux points d'inflexions

6) Construire la coure `C_f ` on donne `ln4 =1, 4 ` , `alpha =-4.5 ` et `f(alpha)= -3.5 `

7)a) Montrer que `f` admet une fonction réciproque `f^(-1)` définie sur `R`

b) Calculer `(f^(-1))'(ln4) `

8 ) soit `(u_n)` la suite définie par `u_0 =1 ` et `forall n in N : u_(n+1)=f(u_n) ` pour tout ` n in N `

a) Montrer par récurrence `0 < u_n < ln4` pour tout ` n in N `

b) Montrer que la suite `(u_n)` est décroissante

c) Montrer que la suite `(u_n)` est convergente

d) Calculer `lim_{ n to +infty} u_n `

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