Exercice 3 ) BAC 2022

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Soit `n` un entier naturel strictement supérieur à ` 1 `

On considère dans `N^2 ` l'équation `(E_n) : (x+1)^n -x^n = ny `

Soit `(x, y) ` une solution de `(E_n) ` et soit `p` le plus petit diviseur premier de ` n `

1) a) Montrer que `(x+1)^n = x^n [p] `

b) Montrer que `p` est premier avec `x ` et avec `x+1 `

c) En déduire que `(x+1)^(p-1)= x^(p-1) [p] `

2) Montrer que si `n` est pair alors `(E_n) ` n'admet pas de solution de `N^2 `

3) On suppose que `n` est impair

a) Montrer ` exists (u, v) in Z^2 : n*u +(p-1)v = 1 ` : ` text{ on rappelle que p est le plus petit diviseur premier de n } `

b) soit `q ` et `r ` le quotient et le reste de a division euclidienne de `u ` par ` q-1 `

Vérifier que ` nr = 1 -(p-1) ( v+nq) `

c) On pose ` v' = -(v+nq) ` montrer que ` v ' >= 0 `

d) Montrer que l'équation `(E_n) ` n'admet pas de solution de `N^2`