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Exercice

Exercice 3 ) BAC 2022


Soit `n` un entier naturel strictement supérieur à ` 1 `

On considère dans `N^2 ` l'équation `(E_n) : (x+1)^n -x^n = ny `

Soit `(x, y) ` une solution de `(E_n) ` et soit `p` le plus petit diviseur premier de ` n `

1) a) Montrer que `(x+1)^n = x^n [p] `

b) Montrer que `p` est premier avec `x ` et avec `x+1 `

c) En déduire que `(x+1)^(p-1)= x^(p-1) [p] `

2) Montrer que si `n` est pair alors `(E_n) ` n'admet pas de solution de `N^2 `

3) On suppose que `n` est impair

a) Montrer ` exists (u, v) in Z^2 : n*u +(p-1)v = 1 ` : ` text{ on rappelle que p est le plus petit diviseur premier de n } `

b) soit `q ` et `r ` le quotient et le reste de a division euclidienne de `u ` par ` q-1 `

Vérifier que ` nr = 1 -(p-1) ( v+nq) `

c) On pose ` v' = -(v+nq) ` montrer que ` v ' >= 0 `

d) Montrer que l'équation `(E_n) ` n'admet pas de solution de `N^2`

... commentaire Proposer une solution
8 réponses

1) a) Montrer que `(x+1)^n = x^n [p] `



Soit `(x, y) ` une solution de `(E_n) `

` => (x+1)^n -x^n = ny `

Puisque ` p ` divise `n ` alors ` exists k in Z : n = kp `

` => (x+1)^n -x^n = (kp y)= (ky) p `

Puisque `(ky) in Z ` alors `(x+1)^n -x^n = 0 [p] `



...+ commentaire

b) Montrer que `p` est premier avec `x ` et avec `x+1 `





Montrons que ` p ` ne divise pas ` x `

Supposons que ` p ` divise `x `

`=> p text{/} x ` 1

`=> x = 0 [p] `

`=> x^n = 0^n [p] = 0 [p] `

comme `(x+1)^n = x^n [p] `

`=> (x+1)^n = 0 [p] `

`p=> text{/ } (x+1)^n `

Comme `p ` est premier alors ` p ` divise `x+1 ` 2

de 1 et 2 on déduit que ` p ` divise `(x+1) -x = 1 `

`=> p text{/} 1 ` absurde

et par suite `p ` ne divise pas `x ` et `p ` est un entier premier alors `p ` et `x ` sont premiers entre eux

Puisque la relation moduo est réflexive donc par le meme raisonnement on montre que `p ` et `x+1 ` sont premiers entre eux


...+ commentaire

1 c) En déduire que `(x+1)^(p-1)= x^(p-1) [p] `



On a `p ` est premier et `PGCD(x , p)= 1 ` alors selon Fermat : `x^(p-1)= 1 [p] ` 1

On a `p ` est premier et `PGCD(x+1 , p)= 1 ` alors selon Fermat : `(x+1)^(p-1)= 1 [p] ` 2

de 1 et 2 on déduit que `(x+1)^(p-1)= x^(p-1) [p] `


...+ commentaire

2) Montrer que si `n` est pair alors `(E_n) ` n'admet pas de solution de `N^2 `



Méthode 1

si `n ` est pair alors le plus petit nombre premier qui divise `n` est `2`

`=> (x+1)^(2-1)=x^(2-1)[2]`

`=> x+1 =x [2] `

`=> 1 = 0[2] `

absurde donc l'équation n'admet pas de solution si `n` est pair

Méthode 2



On a `(x+1)^n - x^n = ny `

On suppose que `n ` est pair `=> (x+1)^n -x^n = 2k `

`=> (x+1)^n -x^n ` est pair

Premier Cas `x` est pair

alors `x^n ` est pair

et `(x+1)` est impair

`=> (x+1)^n ` est impair

donc `(x+1)^n -x^n ` est impair absurde

Deuxième Cas `x` est impair

alors `x^n ` est impair

et `(x+1)` est pair

`=> (x+1)^n ` est pair

donc `(x+1)^n -x^n ` est impair absurde


et par suite si `n ` est pair alors l'équation `(E_n) ` n'admet pas de solution


...+ commentaire

a) Montrer ` exists (u, v) in Z^2 : n*u +(p-1)v = 1 ` : ` text{ on rappelle que p est le plus petit diviseur premier de n } `



Montrons que `PGCD(n , p-1)= 1 `

on a `p ` est le plus petit diviseur premier de `n `

alors l'ensemble des diviseurs naturels de `n : D_n subset { 1, p , p+1, p+2 ........ } `

On a l'ensemble des diviseurs naturels de `p-1 : D_(p-1) subset {1 , 2, ........p-1} `

Puisque ` p-1 < p ` alors `D_n cap D_(p-1)= {1} `

donc le seul diviseur commun entre `n ` et `p-1 ` est ` 1 `

`=> PGCD(n , p-1)= 1 `

alors selon le théorème de Bezzout `(exists (u, v) in Z^2) : u*n + (p-1) v = 1 `


...+ commentaire

b) soit `q ` et `r ` le quotient et le reste de a division euclidienne de `u ` par ` q-1 ` , Vérifier que ` nr = 1 -(p-1) ( v+nq) `



on a ` u = q(p-1) + r `

`=> nr = n*u - nq(p-1) `

Or ` n*u = 1 -(p-1)v `

donc ` nr = 1 -(p-1)v -nq(p-1) `

` = 1 - (p-1)( v+nq) `



...+ commentaire

3c) On pose ` v' = -(v+nq) ` montrer que ` v ' >= 0 `



on a ` nr = 1 - (p-1)( v+nq) `

Montrons que ` nr >= 1 `

on a ` u =q(p-1) +r ` et ` 0 <= r < p-1 `

si ` r = 0 ` alors ` u = q(p-1) `

`=> p-1 ` divise ` u `

`=> p- 1 ` divise ` n*u + (p-1)v = 1 `

absurde car ` n ` est un entier naturel impair strictement supérieur à 1 ` ( n >= 3) `

donc le plus petit nombre premier `p` diviseur de ` n ` : `p >= 3 `

`=> p-1 >= 2 > 1 `

alors ` r > 0 `

`=> r >= 1 `

`=> nr >= 1 `

`=> 1 - (p-1)( v+nq) >= 1 `

`=> - (p-1)( v+nq) >= 0`

`=> - ( v+nq) >= 0 ` car `p-1 >= 2 `


...+ commentaire

d) Montrer que l'équation `(E_n) ` n'admet pas de solution de `N^2`



On suppose que que l'équation admet des solutions dans `N^2` donc

`=> (x+1)^n = x^n [p]` selon la question 1 )

`=> (x+1)^(nr)= x^(nr) [p] ` car ` r in N^(ast) `

`=> (x+1)^(1+(p-1)v') = x^(1+(p-1)v' ) [p] `


or ` x^(p-1)= 1[p] `

` => x^((p-1)v') = 1 [p] ` car ` v' in N `

` => x^(1+(p-1)v') = x *x^((p-1)v') = x [p] `

or ` (x+1)^(p-1)= 1[p] => (x+1) ^((p-1)v') = 1 [p] => (x+1)^(1+(p-1)v') = x+1[p] ` car ` v' in N `

donc ` x+1 = x [p] `

`=> 1= 0[p] `

absurde et par suite l'équation n'admet pas de solution dans `N^2 `


...+ commentaire


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