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Exercice

Exercice 1 bac 20022

Partie A
1) Vérifier que ` forall x >= 0 : 0 <= 1-x+x^2 - 1/(1+x) <= x^3 `

2) Montrer que ` forall x >= 0 : 0 <= x -x^2/2 +x^3/3 - ln(1+x) <= x^4/4 `

Partie B

On considère la fonction `f` définie sur `I = [0,+infty[ ` par `f(0)= 1/2 ` et pour tout ` x > 0 : f(x)= (x-ln(1+x))/x^2 `

1a) Montrer que `f` est continue à droite au point `0`

1b) Montrer que `f` est dérivable à droite au point `0`

1c) Calculer `lim_{ x to +infty} ` puis donner l'interprétation au résultat obtenu

2) a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= -(g(x))/x^ 3 ` avec ` g(x) =x+x/(x+1) -2ln(1+x) `

b) Montrer que ` forall x in I : 0 <= g'(x) <= x^2 `

c) EN déduire que ` forall x in I : 0 <= g(x) <= x^3/3`

d) Déterminer le sens de variation de `f` sur `I `

3a) Dresser le tableau des variations de `f`

b) Tracer la courbe `C_f`

Partie C

1) Montrer ` exists ! alpha in ]0,1[ : f(alpha)= alpha `

2) On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0=1/3 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f(u_n) `

a) Montrer que ` forall n in N : u_n in [0,1] `

b) Montrer que ` forall n in N : abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/3 abs(u_n -alpha) `

c) Montrer que ` forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/3)^n `

d) En déduire que la suite `(u_n )` converge vers `alpha `

Partie D

Pour tout ` x in I ` on pose `F(x)= int_x^1 f(t)dt `

1) Montrer que `F` et dérivable sur `I` , puis calculer `F'(x) ` pour tout ` x in I `

2) En utilisant la technique d'intégration par parties montrer que ` forall x in ]0, +infty[ : F(x)= 2ln2 -(1+1/x)ln(1+x) `

3) Calculer `lim_{ x to 0^+} F(x) ` puis montrer que `int_0^1 f(t) dt = 2ln2 -1 `

4) Calculer en unité de `cm^2 ` l'air du domaine délimité par la courbe `C_f ` , l'axe des abscisses , l'axe des ordonnées , et la droite d'équation ` x= 1 `

Partie E

On pose pour tout ` k in N : Delta_k = f(k) -int_k^(k+1) f(t) dt ` et pour tout ` n in N^(ast) :S_n = sum_{k=0}^(n-1) Delta_k `

1-a) Vérifier que ` forall k in N : 0 <= Delta_k <= f(k) -f(k+1) `

b) En déduire que ` forall n in N^(ast) : 0 <= S_n <= 1/2 `

2a) Montrer que la suite `(S_n)_(n >= 1) ` est monotone

b) En déduire que la suite `(S_n)_(n >= 1) ` est convergente

c) Montrer que la limite `l` de la suite `(S_n)_(n >= 1) ` vérifie `3/2 -2ln2 <= l <= 1/2 `

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25 réponses

1) Vérifier que ` forall x >= 0 : 0 <= 1-x+x^2 -1/(1+x) <= x^3 `



Soit ` x in R^+ ` on a `1-x+x^2 -1/(1+x) = ((1-x)(1+x) +x^2(x+1) - 1)/(1+x)`

` = (1-x^2+x^2+x^3-1)/(x+1)= x^3/(1+x) `

on a pour tout ` x >= 0 : 1+x >= 1 => 0 < 1/(1+x) <= 1 `

comme ` x^3 >= 0 ` car ` x-> x^3 ` est croissante sur `R^+ => x^3 >= 0^0 = 0 `

alors ` 0*x^3 <= x^3/(1+x) <= x^3 `

`=> 0 <= 1-x+x^2 -1/(1+x) <= x^3 `



...+ commentaire

2) Montrer que ` forall x >= 0 : 0 <= x -x^2/2 +x^3/3 - ln(1+x) <= x^4/4 `



Soit ` x >= 0 `

On a pour tout ` t >= 0 ` : ` 0 <= 1-t +t^2 -1/(1+t) <= t^3 ` selon la question 1 )

`=> 0 <= int_0^x (1-t +t^2 -1/(1+t))dt <= int_0^x t^3 dt `

`=> 0 <= x-x^2/2+x^3/3 -ln(1+x) <= 1/4x^4 `






...+ commentaire

1a) Montrer que `f` est continue à droite au point `0`



Soit ` x > 0 ` on a `0 <= x -x^2/2 +x^3/3 - ln(1+x) <= x^4/4 `

`=> x^2/2 -x^3/3 <= x - ln(1+x) <= x^2/2 -x^3/3+ x^4/4 `

`=> 1/2 -x/3 <= (x - ln(1+x))/x^2 <= 1/2 -x/3+ x^2/4 `



Comme `lim_{ x to 0^+} (1/2-x/3)= 1/2 = lim_{ x to 0^+} (1/2 -x/3+x^2/4) `

alors selon le théorème d'encadrement `=> lim_{ x to 0^+} f(x)= 1/2 = f(0) `

donc `f ` est continue à droite au point ` 0 `


...+ commentaire

1b) Montrer que `f` est dérivable à droite au point ` 0 `



On a pour tout ` x > 0 : 1/2 -x/3 <= f(x) <= 1/2 -x/3+ x^2/4 ` et `1/2 = f(0) `

`=> -1/3 <= (f(x) - f(0) )/x <= -1/3 +x/4 `

comme `lim_{ x to 0^+} ( -1/3 +x/4)= -1/3 `

`=> -1/3 <= lim_{ x to 0^+} (f(x) -f(0))/x <= -1/3 `

`=> lim_{ x to 0^+} (f(x) -f(0))/x= -1/3 `

et par suite `f ` est dérivable à droite au point `0` et `(f_d)'(0)= -1/3 `


...+ commentaire

1c) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` puis interpréter le résultat obtenu



On a `lim_{ x to +infty} f(x)= lim_{ x to +infty} [ x/x^2- (ln(1+x))/x^2] `

` = lim_{ x to +infty} [ 1/x - (lnx)/x^2 - (ln(1+1/x))/x^2 ] = 0 `

car `lim_{ x to +infty} 1/x = lim_{ x to +infty} 1/x^2 = 0 ` et `lim_{ x to +infty} (lnx)/x^2 = 0 ` et `lim_{ x to +infty} ln(1+1/x) = ln(1)=0 `



Interprétation

la droite d'équation ` y = 0 ` est une asymptote à la courbe `C_f` au voisange de `+infty `


...+ commentaire

2) a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= -(g(x))/x^ 3 ` avec ` g(x) =x+x/(x+1) -2l(1+x) `



on a pour tout `x > 0 ` la fonction `f` est dérivable

et ` f'(x) = ( 1/x -(ln(1+x))/x^2) ' `

` = - 1/x^2 -(x^2/(x+1) -2xln(1+x) )/x^4 `

` = ( -x - x/(x+1) + 2ln(1+x))/x^3 `

` = - ( x+x/(x+1) -2ln(1+x))/x^3 `

` = -(g(x))/x^3 `



...+ commentaire

2 b) Montrer que ` forall x in I : 0 <= g'(x) <= x^2 `



On pour tout ` x >=0 ` la fonction `g` est dérivable en tant que somme des fonctions dérivables

et ` g'(x)= (x+x/(x+1) -2ln(1+x))' = ( x+(x+1-1)/(x+1) -2ln(1+x))' `

` = (1+x -1/(x+1) -2ln(1+x))'`

` = 1 +1/(1+x)^2 -2/(1+x) `

` = ( (1+x)^2+1-2(1+x))/(1+x)^2 `

` = ((1+x)- 1)^2/(1+x)^2`

` = x^2/(1+x)^2 `

Comme ` 1+x >= 1 => (1+x)^2 >= 1 ` car `t->t^2 ` est croissante sur `R^+ `

`=> 0 < 1/(1+x)^2 <= 1 `

`=> 0 <= x^2/(1+x)^2 <= x^2 `

donc


...+ commentaire

2 c) En déduire que ` forall x in I : 0 <= g(x) <= x^3/3`



Soit ` x >= 0`

On a pour tout ` t >= 0 : 0 <= g'(t) <= t^2 `

`=> 0 <= int_0^x g'(t) dt <= int_0^x t^2 `

`=> 0 <= g(x) -g(0) <= x^3/3 `

`=> 0 <= g(x) <= x^3/3 ` car ` g(0)= 0 `



...+ commentaire

3 d) Déterminer le sens de variation de `f` sur `I `



On pour tout ` x > 0 : f'(x)= -(g(x))/x^3 `

comme ` x^3 > 0 ` et et ` g(x) >= 0`

`=> forall x > 0 : f'(x) <= 0 ` : ( !!! ` x ne 0` )

donc pour tout ` x >= 0 ` : ( !!! ` x ` inclus dans l'intervalle ) `f` est décroissante


...+ commentaire

3 a) Tableau des variations de `f`






...+ commentaire

3 b) la courbe de la fonction `f`







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1) Montrer ` exists ! alpha in ]0,1[ : f(alpha)= alpha `



On considère la fonction `h : x-> f(x) -x ` définie sur `J= ]0,1[ `

on a `x-> x-ln(1+x) ` est continue dérivable sur `J ` et ` x-> x^2 ` est continue et dérivable et ne s'annule pas sur `J`

alors `x-> (x-ln(1+x))/x^2 ` est continue et dérivable sur `J ` comme rapport de ` 2 ` fonctions

`=> x-> h(x) ` est continue sur `J `

On a pour tout ` x in J : h'(x)= f'(x) - 1 `

comme ` f'(x) <= 0 ` pour tout ` x > 0 `

donc ` h'(x) = f'(x) -1 <= -1 < 0`

`=> h ` est strictement décroissante sur ` J `

alors selon le théorème de la bijection ` h ` réalise une bijection de `]0,1[ ` sur ` h ]0,1[ = ]lim_{ x to 1^-} h(x) , lim_{ x to 0^+} h(x) [ = ] -ln2, 1/2[ `

puisque ` 0 in ] -ln2, 1/2[ ` alors ` exists ! alpha in ]0,1[ : h(alpha) = 0 `

C 'est à dire ` exists ! alpha in ]0,1[ : f(alpha)= alpha `


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2 a) Montrer que ` forall n in N : u_n in [0,1] `



Montrons par récurrence que pour tout ` n in N : u_n in [0,1] `

Initialisation

Pour ` n = 0 ` on a ` u_0 =1/3 in [0,1] `

Hérédité

Soit ` n in N ` on suppose que ` u_n in [0,1] ` montrons que ` u_(n+1) in [0,1] `

on a selon tableau de variation de `f` ` forall x >= 0 : f(x) in ]0, 1/2] subset [0 ,1] `

selon l'hypothèse de récurrence ` u_n in [0,1] ` alors ` f(u_n) in [0,1]`

`=> u_(n+1) in [0,1] `

Conclusion

selon le principe de la récurrence on déduit ` forall n in N : u_n in [0,1] `



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2 b) Montrer que ` forall n in N : abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/3 abs(u_n -alpha) `



On a ` f ` est continue sur `[0,1]` : en effet

`x-> x-ln(1+x)` est continue sur `]0,1] ` et `x->x^2` est continue et ne s'annule pas `]0,1]`

`=> x -> f(x) ` est continue sur `]0,1] ` et on a `f` est continue à droite de `0 `

`=> f ` est continue sur `[0,1 ] `

`x-> x-ln(1+x)` est dérivable sur `]0,1[ ` et `x->x^2` est dérivable et ne s'annule pas `]0,1[`

`=> x -> f(x) ` est dérivable sur `]0,1[ `

`=> f ` est dérivable sur `]0,1[ `

on a pour tout ` x in ]0,1:[ : abs(f'(x)) = abs(-(g(x))/x^3) <= 1/3 ` selon partie B) 2c)

alors selon l inégalité des accroissements finis pour tout `(a, b) in [0,1] : abs(f(b) -f(a)) <= 1/3abs(b-a) `

comme ` forall n in N : u_n in [0,1]` et ` alpha in [0,1]`

`=> abs(f(u_n) -f(alpha)) <=1/3abs(u_n -alpha) ` pour tout ` n in N `

`=> abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/3abs(u_n-alpha) ` car ` u_(n+1)= f(u_n) ` et ` alpha = f(alpha) `



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2 c) Montrer que ` forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/3)^n `



Démonstration par récurrence

Initialisation

Pour ` n = 0 ` on a `u_0=1/3 in [0,1]` et ` alpha in [0,1] ` alors ` abs(u_0-alpha) <= 1 = (1/3)^0 `

Hérédité

soit ` n in N ` on suppose que ` abs(u_n -alpha) <= (1/3)^n ` montrons que ` abs(u_(n+1) -alpha) <= (1/3)^(n+1) `

on a selon 2b) : `:abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/3abs(u_n-alpha)`

et selon l'hypothèse de récurrence `abs(u_n -alpha) <= (1/3)^n`

`=> abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/3*(1/3)^n = (1/3)^(n+1) `

Conclusion

selon le principe de la récurrence on déduit que ` forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/3)^n `


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2 d) En déduire que la suite `(u_n )` converge vers `alpha `



` forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/3)^n `

Comme ` abs(1/3) < 1 ` donc `lim_{ n to +infty} (1/3)^n = 0`

alors `lim_{ n to +infty} u_n = alpha `


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1) Montrer que `F` et dérivable sur `I` , puis calculer `F'(x) ` pour tout ` x in I `



soit ` x >= 0 ` on a `f ` est continue à droite en ` 0 `

et pour tout ` x > 0 : f ` est continue comme rapport de deux fonctions ` x-> x -ln(1+x) ` est continue et ` x->x^2 ` continue et ne s'annule pas

donc ` f ` est continue sur `I ` alors `x-> G(x) = int_1^x f(t) dt ` est la primitive de `f ` qui s'annule en ` 1 `

donc elle est dérivable sur ` I ` comme `F(x)= -G(x) `

alors ` F ` est dérivable sur `I ` et `F'(x)= (-G(x))' = -f(x) `



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2) En utilisant la technique d'intégration par parties montrer que ` forall x in ]0, +infty[ : F(x)= 2ln2 -(1+1/x)ln(1+x) `



Soit ` x > 0 `

on a `F(x)= int_x^1 (t -ln(1+t))/t^2 dt `

On pose ` u' = 1/t^2 ` et ` v = t -ln(1+t) `

`=> u = -1/t ` et ` v' = 1 -1/(1+t) = t/(1+t) `

`=> F(x)= [ -1/t(t -ln(1+t))]_x^1 + int_x^1 1/(1+t) dt `

` = -(1-ln2) + (x-ln(1+x))/x + [ln(1+t)]_x^1 `

` = ln2 -1 + 1 -(ln(1+x))/x + ln2 - ln(1+x) `

`= 2ln2 - (1+1/x) ln(1+x) `






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3) Calculer `lim_{ x to 0^+} F(x) ` puis montrer que `int_0^1 f(t) dt = 2ln2 -1 `



On a pour tout `x > 0 : F(x)= 2ln2 - (1+1/x) ln(1+x)`

`=> lim_{ x to 0^+} F(x)= lim_{ x to 0^+}[2ln2 - (1+1/x) ln(1+x)] `

on a ` lim_{ x to 0^+} (1+1/x)ln(1+x)= lim_{ x to 0^+} [ ln(1+x) + (ln(1+x))/x] `

` = ln(1) +1 = 1 `

alors `lim_{ x to 0^+} F(x)= lim_{ x to 0^+}[2ln2 - (1+1/x) ln(1+x)] = 2ln2 -1 `



Comme `F` est dérivable sur `[0,+infty[ ` alors `F` est continue à droite en ` 0 `

`=> lim_{ x to 0^+} F(x)= F(0) `

`=> 2ln2 -1 = int_0^1 f(t) dt `



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4) Calculer en unité de `cm^2 ` l'air du domaine délimité par la courbe `C_f ` , l'axe des abscisses , l'axe des ordonnées , et la droite d'équation ` x= 1 `



on a ` u_a = abs(vec(i))*abs(vec(j)) = 2*2= 4 cm^2 `

On a ` A = ( int_0^1 abs(f(t) -0 )dt ) u_a `

Puisque ` f(t) >= 0 ` selon le tableau des variations de `f `

`=> abs(f(t))= f(t) `

`=> A = ( int_0^1 f(t) dt ) u_a = 4(2ln2 -1) cm^2 `



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1-a) Vérifier que ` forall k in N : 0 <= Delta_k <= f(k) -f(k+1) `



soit ` k in N ` et ` t in [k , k+1] `

`=> k <= t <= k+1 `

`=> f(k+1) <= f(t) <= f(k) ` car ` f ` est décroissante et continue sur `[k, k+1] subset I `

`=> int_k^(k+1) f(k+1) dt <= int_k^(k+1) f(t)dt <= int_k^(k+1) f(k) dt `

`=> f(k+1) int_k^(k+1) dt <= int_k^(k+1) f(t)dt <= f(k ) int_k^(k+1) dt `

`=> f(k+1) <= int_k^(k+1) f(t)dt <= f(k ) `

Car `int_k^(k+1) dt = [t]_k^(k+1)= k+1 -k = 1 `

`=> - f(k) <= - int_k^(k+1) f(t)dt <= -f(k+1 ) `

`=> f(k) - f(k) <= f(k) - int_k^(k+1) f(t)dt <= f(k) -f(k+1 ) `

`=> 0 <= f(k) - int_k^(k+1) f(t)dt <= f(k) -f(k+1 ) `

et par suite


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1 b) En déduire que ` forall n in N^(ast) : 0 <= S_n <= 1/2 `



soit ` n in N^(ast) ` et ` k >= 0 ` on a ` 0 <= Delta_k <= f(k) -f(k+1) `

`=> sum_{k=0}^(n-1) 0 <= sum_{k=0}^(n-1) Delta_k <= sum_{k=0}^(n-1) ( f(k) -f(k+1) ) `

`=> 0 <= S_n <= f(0) -f(1) + f(1) -f(2) +....f(n-1) -f(n-1) + f(n-1) -f(n) `

`=> 0 <= S_n <= f(0) -f(n) `

Puisque ` f(n) > 0 ` selon tableau des variations alors ` f(0) -f(n) <= f(0) = 1/2 `

donc ` 0 <= S_n <= 1/2 `





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2a) Montrer que la suite `(S_n)_(n >= 1) ` est monotone



Soit ` n >= 1 ` on a `S_(n+1) -S_n = sum_{k=0}^(n) Delta_k - sum_{k=0}^(n-1) Delta_k`

` = Delta_n >= 0 `

alors la suite `(S_n)_(n >= 1) ` est croissante


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2b) En déduire que la suite `(S_n)_(n >= 1) ` est convergente



la suite `(S_n)_(n >= 1) ` est croissante et majorée par `1/2 ` alors elle est convergente de plus sa limite ` l ` vérifie inégalité ` 0 <= l <= 1/2 `



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2 c) Montrer que la limite `l` de la suite `(S_n)_(n >= 1) ` vérifie `3/2 -2ln2 <= l <= 1/2 `



On a montré que ` l <= 1/2 `

On a `(S_n)_(n >= 1) ` est croissante alors pour tout ` n >= 1 ` : `S_1 <= S_n `

`=> S_1 <= lim_{ n to +infty} S_n `

`=> S_1 <= l `

or `S_1 = Delta_0 = f(0) -int_0^1 f(t) dt = 1/2 - (2ln2 -1)= 3/2 -2ln2 `

donc ` 3/2 -2ln2 <= l `

et par suite


...+ commentaire


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