Résoudre dans `R`, les équations suivantes

a) `abs(2x-3)=5`

b) `abs(7x-2)=abs(8x-3)`

c) `abs(x-3)=2x-4`

2) résoudre les inéquations suivantes

a) ` abs(x-1) < 4 `

b) `abs( x-3) < abs(x-7)`

c) `1/{abs(x-1)} <= 4 `

Résoudre dans `R` : `abs(2x-3)=5`

Rappel

`abs(x-a)= r ` équivalente à `(x-a)= r text{ ou } x-a = -r `



On a `abs(2x-3)= 5`

`2x-3=5 ` ou `2x-3 = -5 `

`2x = 5+3 ` ou `2x = -5 +3 `

` x = 8/2 = 4 ` ou ` x = (-2)/2 = - 1`

alors l'ensemble `S` des solutions est `S= {-1 , 4 } `

b) Résoudre dans `R` : `abs(7x-2)=abs(8x-3)`

Rappel

`abs(a)= abs(b) ` équivalente à `a= b ` ou `a=-b`



On a `abs(7x-2)=abs(8x-3)`

`7x-2 = 8x-3 ` ou `7x-2 = -(8x-3) `

` -2+3 = 8x-7x` ou `7x-2 = -8x+ 3`

` x = 1 ` ou ` 7x+8x = 3+ 2 `

` x = 1 ` ou `15x= 5 `

`x= 1 ` ou ` x = 5/(15)= 1/3 `

alors l'ensemble `S` des solutions de l'équation est ` `S= { 1/3 , 1 } `

c) Résoudre dans `R ` : `abs(x-3)=2x-4`

Méthode

1 On étude le signe de `x-3 ` pour éliminer la valeur absolue

2 On résout l'équation dans chaque intervalle

3 la solution de l'équation est l union des solutions sur chaque intervalle



On a ` x- 3>= 0 ` si et seulement si ` x >= 3`

Tableau de signe de `x-3 `




Premier cas si ` x >= 3 ` c'est à dire ` x in [ 3,+infty[ `

Soit `S_1 ` l'ensemble des solutions de l'équation sur l intervalle `[3 ,+infty[`

l'équation `abs(x-3)=2x-4`

équivalente ` x -3 = 2x-4 `

` x-2x = 3-4 `

`-x = -1 `

`x = 1 `

Puisque ` 1 notin [3,+infty[ `

alors l'équation n' pas de solution dans cet intervalle donc `S_1 ={ emptyset } `

Deuxième cas si ` x < 3 ` c'est à dire ` x in ] -infty , 3[ `

soit `S_2 ` l'ensemble des solutions de l'équation sur l intervalle `]-infty , 3[ `

l'équation `abs(x-3)=2x-4`

équivalente ` -(x -3) = 2x-4 `

` -x+3 = 2x-4 `

` 3+ 4 = 2x+x `

`3x = 7 `

` x = 7/3 `

On a `7/3 < 3 ` car `7 < 3xx3 `

alors ` 7/3 in ]-infty , 3[ `

alors `S_2 = { 7/3 } `

Conclusion

l'ensemble `S` des solutions de l'équation est `S= S_1 cup S_2 = {7/3} cup {emptyset} = {7/3 } `