Résoudre dans `R` les équations suivantes :

1) ` abs(2x-3)= abs(2-x) `

2) ` abs(x-2)= 2x-1 `

3) ` abs(2abs(x) -3) = 3 `

4) ` abs(x^2 -2x)= x^2 `

5) ` abs(x-2) -2abs(x) = 2x-3 `

6) ` abs(6-x) + abs(x+1) = 2 -abs(x) `

1) Résoudre dans `R` : ` abs(2x-3)= abs(2-x) `

Rappel

` abs(a)= abs(b) ` si et seulement si ` a= b ` ou ` a = -b `



On a ` abs(2x-3)= abs(2-x) `

si et seulement si ` 2x-3 = 2 -x ` ou ` 2x -3 = -(2-x) = -2 +x `

Résolvons l 'équation ` 2x-3 = 2 -x `

On a ` 2x-3 = 2 -x `

` 2x +x = 2+3 `

` 3x = 5 `

` (3x)/3 = 5/3 `

` x = 5/3 `

`=> S_1 = { 5/3} `

Résolvons l'équation ` 2x -3 = -2 +x `

On a ` 2x -3 = -2 +x `

` 2x-x = -2 +3 `

` x = 1 `

`=> S_2 = { 1} `

Conclusion

l'ensemble `S` des solutions de l équation est `S= S_1 cup S_2 = { 1, 5/3} `

`=> S= { 1, 5/3 } `

3) Résoudre dans `R` : ` abs(2abs(x) -3) = 3 `

Rappel

`abs(x)= r ` si et seulement si ` x = r ` ou ` x = -r `



On a ` abs(2abs(x) -3) = 3 `

si et seulement si ` 2abs(x) -3 = 3 ` ou ` 2abs(x) -3 = -3 `

` abs(x)= (3+3)/2 = 3 ` ou ` abs(x)= (-3+3)/2 = 0 `

` x = 3 ` ou ` x = -3 ` ou `x = 0 `

`=> S= { -3, 0 , 3} `

2) ` abs(x-2)= 2x-1 `

Déterminons le tableau de signe pour éliminer la valeur absolue

On a ` x -2 >= 0 <=> x >= 2 `

Ainsi le tableau de signe





Résolution de l'équation su `[2,+infty[`

On a ` abs(x-2)= 2x-1 `

` x -2 = 2x -1 `

` -2 +1 = 2x- x `

` x = -1 `

Comme ` -1 notin [2,+infty[ `

`=> S_1 = {emptyset} `

Résolution de l'équation sur `]-infty , 2]`

On a ` abs(x-2)= 2x-1 `

` -(x-2) = 2x -1 `

` -x +2 = 2x-1 `

` 2+1 = 2x+x = 3x `

` 3= 3x `

` 3/3 = 1 = x `

comme ` 1 in ]-infty , 2] `

`=> S_2 = {1} `

Conclusion

l'ensemble `S` des solutions de l équation `S= S_1 cup S_2 = {1} `

`=> S= { 1} `