Soit `P(x)` un polynome de degré `3` tel que `P(2)= 4` , `P(3)=9 ` , `P(4)= 16 ` , `P(1)=7 `

On pose `Q(x)= P(x) -x^2 `

1) Montrer qu'il existe ` k in R ` tel que `Q(x)= k(x-2)(x-3)(x-4) `

2) Déterminer le réel ` k `

3) Déterminer l'expression de `P(x) `

1) Montrer qu'il existe ` k in R ` tel que `Q(x)= k(x-2)(x-3)(x-4) `

Soit `P(x)` un polynome de degré `3` tel que `P(2)= 4` , `P(3)=9 ` , `P(4)= 16 ` , `P(1)=7 `


On a `Q(x)= P(x) -x^2 ` et

On a `Q(2)=P(2) -4 = 4-4 = 0 => x-2 ` divise `Q(x) `

`Q(3)= P(3) -3^2 = 9-9 = 0 => x-3 ` divise `Q(x) `

`Q(4) = P(4) -4^2 = 16 -16 = 0 => x-4` divise `Q(x) `

et par suite `Q(x)= (x-2)(x-3)(x-4)R(x) `

alors ` deg(Q(x)) = deg((x-2)(x-3)(x-4)R(x))`

` = deg(x-2)+deg(x-3)+deg(x-4) + deg(R(x)) `

` = 1 +1+1 + deg(R(x))`

` = 3 + deg(R(x)) `

On a `Q(x)= P(x) -x^2 ` comme `deg(P)= 3 `

alors `deg(Q)= 3 `

et par suite ` 3= 3 + deg(R(x)) <=> deg(R(x))= 0 `

donc `R(x)` est le polynome constant donc `R(x)= k ; k in R `

et par suite `=> Q(x) = k (x-2)(x-3)(x-4) ; k in R `

2) Déterminer le réel ` k `

On a ` Q(x) = k (x-2)(x-3)(x-4) `

`=> Q(1)= k(1-2)(1-3)(1-4)= -6k `

d'autre part on a `Q(x)= P(x) -x^2 `

`=> Q(1)= P(1) -1 = 7 -1 = 6 ` car `P(1)= 7 `

alors ` -6k = 6 <=> k = 6/(-6)= -1 `