le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1), vec(e_2))`

On considère l'application $$ f : \begin{cases} C^{\ast} \to C^{\ast} \\ \\ z \to \frac{\bar{z}+i}{z} \\ \end{cases} $$

1) Déterminer l'ensemble des points `M(z)` pour lesquels `abs(f(z))= 1 `

2) Résoudre dans `C` l'équation `f(1/z)= zbar(z)`

3) On pose `z= cos(theta) + isin(theta)` avec ` 0 < theta < (pi)/2 `

a) Construire les points `B(i)` , `M(z)` , `N(bar(z))`

b) Soit `P` le point d'affixe `bar(z) + i `

Vérifier que `ONPB` est un losange

c) en déduire l'argument `bar(z)+i` et l'argument de `f(z)` en fonction de `theta`

d) Déterminer `abs(f(z)) `